用端钮变量表示，其中q=C，根据式(9)的计算可得到总能量(17)w.-[odg -{oda-1%--cn一且积分完成，再次利用关系9=C可写出最后一个表达式。注意，能量密度的体积分和利用端钮变盘的积分给出相同的结果。在下一个例子中，考虑包含两个端口的MQS系统，并由此说明从端钮关系来计算能量所要求的积分。储存在耦合电感器中能量也常常是实际感兴题的。例11.4.2精合线遇变压器具有两端11无损耗的MQS系统的一个例子是一对具有端钮关系(18)IalLn, La Ii的合线圈，在这种情况下，式（12）变为(19)dw=idt+idA为了计算这个式子，我们必须用磁通链代替所写的电流。这就需要对式(18)求道。对于线性系统，这容易做到,但对于非线性系统就不是了。为了避免求逆，我们1重写式(19)的右边,它成为(20)dummd(iiAr+a)-adi-Adin集项后(21)w.-A,di,+.d.共中余能量坡定义为(22)[ -(1,.4) --当磁链用电流表示时，方程(21)能够积分。并可得出代（18)给出的端钮关系的形式。日求得余能量w，那么w就可以从式(22)得到。(19)的积分是在状态空间（，3)中的一个线积分。如果能量是守恒的，我们一定能沿著从电流断开处一路经进行积分。开始到电流达到所要求值的终点的任在国11.4.4所示的路径中，首先让电流增加而维持图11.4.4由钮电流构成的状态空间中的积分路径电流，为等。然后，使随定在它的终值，电流，则从零上升到断开它的终值。对这个路径，式（22)的积分变为i,o)dei+ fAi,ndi(23)把来自式(18)的磁道链代人，并计算积分，刘给出(24)w+-L+L如果积分沿着与，与原先的作用相反的路径进行，那么获得的表达式是将式(24）中Li—→La。为了使储存的能量与路径无关，互感必须相等。LiaU25)如果要使能量守值，那么我们所发现的例9.7.4中变压器所具有的这一关系是需要的。通过把这一表达式和用式(18)表示的磁通链代入式(22)并解出m，现在就可求出能量。由此得(26)三计算储存在一个全耦合变压器中的能量，当其电感取式(9.7.20)的形式,可给出364
A(IN+NN+IN)(35)在绳想条件下运行[在式(9.7.3)/一N/N、的意义E1变压器不储存能量，9=0。这样，根据式（6)的功率原理，在理想的运行条件下，在个端口的功率输人立即呈现在第二个端口作为功率输出到这里，例子包括了线性极化和磁化的构成定律。下面我们来确定在具有非线性极化构成定律的材料中的EQS能是储存。例11. 4. 3在电非线性材料中的能量储存为了表示随者电场的增强极化趋于饱和的领向，树成定律可能取如下彤式ai(28)其中,α,与α,甚描述特定材料的参数,D是与E共线的。这个构成定律在图 11.4.5中用图形表示。因为D是作为E的函数给出，把作为D的一个函数不容易求解，所以利用式（3）计算能密度是不方便的。然而，我们能够观察到(29)8W.-R8D-8(ED) -DSE然后重新集项，于是表达式变成(30)8WD8E式中(31)W.-ED-W.现在积分导出余能量密度W,于是能量密度W。可用式(31)和构成定律求得。特别电，可利用式（28）计算式（30）给出余能量密度WjD8r-aWI+aE-1)+.*(32)从式(31)可得能量密度为+E(33)W.-En we a(a图11.4.5单值的非线性构成定律。在这种情况下,代或能量密度W和余能量密度W'的面积是不和等的能量和余能量函数的几何图形表示在图11.4.5给出。以D为积分变量的“在曲线下”的面积即为W。［(3)式)。以E为积分变量的曲线下的面积为W。[(31)式。11.5电磁损耗电磁场产生的热常常是工程设计的一个控制特性。半导体不可避免地产生热，而且不论是365
计算机应用还是功率转换中，热源的分布及其大小是一个重要的考虑。通常，热量的产生成为设备运行的一个基本限制。热的产生是人们所期望的例子，包括电炉中的发热线圈以及在微波炉中对食物的微波辐照在金属中，欧姆传导是产生热的主要原因，但它在半导体、电解质和（低频条件下）半绝缘液体及体中，也同起作用。这类发热的机理已在11.3节中讨论。与欧姆传导相关的损耗密度为0E·E。可以通过和材料进行电接触而施加欧姆电流，如同在一个炉子中发热元件一样。如果材料是良导体，这类电流也可以由电磁感应产生（不需要接触）。在第10章中由时变磁场感应的电流就是其中一例。感应加热是一个MQS过程，且常常被用来处理金属。在变压器铁心中由时变磁通感应的电流是人们所不希望的一个发热例子。在这方面，有关的损耗(可以通过把铁心制成薄片来减少被称为是源于涡流。“电容”耦合也能引起欧姆发热。在7.9节的EQS例子中，电介质发热是由与不成对电荷积聚相联系的电流引起的。不论是由于电磁感应或电容耦合，热能的产生可通过11.3节所阐述的损耗密度Pa=GE.E来描述。然而，在守恒定理式（11.2.7)中，极化和滋化项也会引起能量损耗。这发生在（电的或磁的）偶极子与场的方向瞬时偏离时。极化和磁化的构成定律不同于11.3节所假设的定律。作为提出式(11,2.7)中的极化项惩样才能丧示损耗的一个例子，人们画出演示6.6.1的人造电介质(乒乓球电介质)，但是该球具有高电阻，而不是完纯导电的。响应于施加的电场，球的两极上的电荷积聚是用一个与场正比的变率，而不是用电荷的大小来描述的。子是，我们希望器而不是 P,正比于 E。 把 作为反映球的性能和几何形状的系数,极化的构成定律将取如下形式%-vE(1)如果用这个定律表示守恒定律的极化项即式(11.2.7)右边的第二项，那么就导致正的确定的量。E.P-VE.E(2)因为可以从构成定律的物理原因得出，现在极化项表示的是能量损耗，而不是能量储存当材料放在频率很高、以致可以把导电效应忽略掉的电场中,那么由子偶极子极化引起的能量损耗变为主要的发热机理。在演示 9. 5. 1 中所考虑的人工抗磁材料提出了相类似的损耗是怎样与材料的动态磁化相联系的。如果构成人工抗磁材料的球形微粒具有有限的电导率，则这个感应偶极短与外施的正弦场不同相。在粒子规模内的欧姆损耗的合计可通过一个修正的磁化构成定律在宏观范围加以说明。由磁化引起的最常见的损耗是在铁磁物质中遇到的。为了得到磁畴的沿线排列而需的矫顽产生了磁滞损耗。我们将用图9.4.6的磁滞回线和损耗密度之间的关系来结束本节。1 366 :
时间周期性系统的能量守恒许多实际情况涉及到随时间作周期性变化的场，正弦稳态是最常见的例子。如果能量守恒定律(11.08)式对一个周期T积分，能量储存项将无贡献。['de dt =w(T) -w(0) =0(3) dt因此，能最守恒定律的时间平均值说明了输人功率的时间平均值成为损耗的时间平均值。守恒定律(11. 1. 1)的积分形式的时间平均变为<f Sda)-<Ij Pado)(4)假定动态过程是周期的，而不一定是正弦的，这个表达式给出了计算总能量损耗的两条途径。我们要么利用等式右边，把功率损耗密度对整个体积积分算出来；要么利用左边并且把S·da的时间平均值对包围休积的整个表面积分。把正弦稳态作为一个特殊情况来考虑。如果P和M与E和H通过线性微分方程联系，那么，我们可以采取一种和电路理论相似的方法，在一给定位置处每种场的相位和振幅可以用复数振幅来表达。例如，电场和磁场强度可以写成E=ReE(r)elot; H=ReHi(r)eist(5)-一个复尖量E(r)包含三个复标量分量E(r)、E(r)和氢,(r)。每项的含义与电路理论中复电压的含义相同，即(1)的量值|,(")1,给出了随时间作余弦变化的电场的分量的峰值，（r)的相位给出了余弦时间函数的超前相位。在确定正弦稳态量乘积的时间平均值时，利用时间平均定理将大有帮助。用·表示复共轭<Rede"ReBeit-ReAB*(6)这可利用恒等式(7)[Reeiat-→(Celt+O*e--l)=证明。感应加热在这种情况下，发热可以用欧姆传导和式(11.3.3c）给出的Pa表示。从第7章与第10幸包含有限电导率的导体的例子给我们提供了把这些关系式应用于计算（4)式右边项的机会。如果相同的总时间平均功率是利用这个表达式右边算出来的，似乎不需要欧姆定律。然而，要记住这个定律也反映在用来计算S的场量中。例11.5.1薄壳的感应加热图11.5.1的导电薄充置于与其辅轴共线的H。（)场中、并已在例10.3.1中描述过。这里，外施场是在正该稳定状态下H,-Reh,ei-.(8). 167
根据式(10.3.9)，响应的复振幅，即在壳内的磁场为I在,(9)tH14jor共中中在壳内绕行的面电流密度的复摄幅，由式(10.3.8)可得jotmt.一月(10)因为电流密度在亮的径向核截面上是均勾的，所以摄托窈度可以用面电流密度KAoE表示而写成Pa-aE.E-K.(11)应用时间平均定理(6)式,可得总的时间平均损耗为图 11. 5.1 在外施的轴向滋场强度 H。(0)中的题柱导电(J, Pado)-I,RK dp A-ReR*(12)其中1为薄壳的长度。为了完成基于密度对整个导体的体积分的推导,这个表达式可利用式(10)计算。(13)(P(/ Pdo )-2通过计算坡印享道量密度对薄壳外r三α处的表面积分的时间平均值，可得到同样的结果。为了明白这一点，我们再次-利用时间平均定理式(6),且认为表面积分等于乘以壳的表面积(f,(EXH).da )-f,IReB,ada2gReBgnt(14)为了计算这个表达式,用式(10)来确定 E(15)(rB,--"ojot)-计算式(14)给出(16)(,(EXH)da)-; 1这和通过损耗密度对整个体积积分所得结果式(13),是相同的。时向平均功率损耗对归一化频率的依赖关系如图11.5.2所示。在额率很低时，感应电流不够大，以致对外施场没有明显的影响。于是，电场与外施场的时间变化率成正比，而且因为损耗正比于E的平方，功率损耗按的平方增加，，在高频时，感应电流不能大于用来屏蔽外施场不使进人壳的内部区域所要求的。因此，损耗达到浙近的极限。<P.>平均功率损耗密度作为归一化到式(9)所归一化到式（13）所定义的的定义的础扩敲时问的频率的函类:361 ·