是微不足道的。由完纯导体和自由空间组成的系统在这个范畴内准静态的例子为第四、五章的EQS 系统和第八章的MQS系统，其中完纯导体被自由空间所包围。 不论是准静态场或是电动力学场,在这些区域内 P=0, M =0; 在有电流.密度J。的地方,完纯电导率保证了E=0。于是，式(7)的右边第二项和最后两项为零。对于被自山空间包围的完纯导体，功率定理的微分形式为.-(8)其中S-ExH(9)和W-E.E+TH.H(10)式中S为坡印亭矢量，W为电的与磁的能量密度之和。电场与磁场被限制在自由空间区域。于是，根据这些变最描述的功率流和能量储存完全发生在自由空间区域。分别由EQS和MQS定律支配的极限情况，可以根据它们各自占优势的电能密度和磁能密度来区别。下面简单的例子说明了功率定理在两个简单准静态情况中的应用。这个定理在电动力学系统中的应用将在第十二章涉及。例11.2.1平行板电容器图11.2. 1 所示的平行板电容器在例3.3. 1中已熟悉。避形电极悬完纯导电的，而电极间的区域为自由空间。整个系统由分有于极板边缘上的电压源所激励。 电极间的电场强度简单地是电压除以板间的距离式(3.3.6),即E-+()根据安培定律的积分形式得磁场强度为式(3.3.10)(12) -()压源激励，通过山谨线图11.2.1平行板电容器的圆所示表面的坡印享通盘反映该表百所包围体积内的电能变化率下面考虑式(8)对图 11.2 中包围两极板间送域的 S 面积分的应用。首先，我们递过计算式(8)的左边来确定由这个S面进入该体积的功率。从（11）和(12)两式可以确定功率流密度。-354 *
(13)S-EXH-由于该体积的顶面和下底面具有与S失量垂直的法线，所以进人该体积的功率仪仅亲自=5的侧表面的贡缺。因为在该表面上S为常数，其积分为一个乘积(14)-,EXH-da=(2ba)()(cn)式中C=b在这里，表达式已写成储存在电容器中能量的变化率的形式。由于E再一次可以由式(1)给出，因此我们双重核对能量储存随时间的变化率。a)((c)(15)5处的表面流人，且以电能形式储任在两极板间的体积内。在用于计算电场的从场的观点来说，功率通过在r准静态近似中，由于磁能与电能相比很小，所以一开始就可以把磁能储存忽略掉。作为这个近似计算结果的检验，考虑总的磁能储存。根据式(12)H(4 ()(16)将此式与用式(15)求得的电能储存表达式相比较，表明如果g(17)EQS近似是有效的。对于频率为@的正弦激励，则行(bo)(18)其中c为自由空问的光速式，(3.1.16)。这个结果已在例3.3.1中熟悉了。要求电磁波的传播时间b/c比周期1/0短得多这相当于要求与电能储存相比，能储存是微不足道的。第二个例子使我们有机会把式(8)的积分形式应用到一个简单的MQS系统中。例11. 2.2长直螺线管电感器图 11.2. 2 所示的究纯导电的单螺线管,在例 10.1.2中熟悉了。根据端钮电流 i=Kd，内部的磁场强224or1度为式(10.1.14)H-yi(19)4丽电场为解和守恒的齐次部分之和【式(10.1.15)为特解部分，B为齐次解部分]。(20)toedhorio+Es3考虑功率流是怎样通过线圈所包围体积的表面S图11.2.2环绕者被S面所包围体积的单施竭线管的间题可以用能量储存对时间变化率加以说明。通过如图中靠线所示。通过这个表面的坡印亭通量说明了储存在包跟体积内磁能的变化率。式（19）和（20）得坡印亭失量为SExH[-(→)](21) 355
这个坡印享失量没有垂重于该体积的上，下底面的分盘。在"=a表面上,括号内的第项为常数，所以S面上的积分等于与而积的一个乘积。因为 E是无旋的,所以 Er,dS=Eardd 沿 r=a 周线的积分值必等F零。为此，E对整个表面只分没有净贡献。(22)-f,ExH-d=2xad()(1)-(10)式中Latliana。忽髂电能的储存，式(8)右边的计算也确实为变化率加以说明。这里，这个结果表明功率流可以用储存的磁给出相同的结果。,()(L)(23)通过磁能储存量与被避去的电能储存量的比较，可以检验准静态近似的有效性。因为我们仅对对其量值的比较愿兴题，且我们知道齐次解正比于特解式(10.1,21),后者可以用式(20)的第一项近似[,-Ede 1()[ajr2zrdr]g- (a)(24)我们可以得出如下结论：假设与电磁波沿一个螺线半径α传播所需时间相比较，其角频率の很小，MQS的近似是有效的，这也等效于，与磁能储存相比较，电能储存是微不足道的。e(a)<i(25)K1180值得注意的是如果“淋板”端组问的阿隙傲得很小,则电场齐次解部分的电能储存能变得较大。如果它与磁能储存相当，则其结构接近于由间障也容和螺线管电感组成电骼的握荡条件。在这种极限下，MQS近似不适用了。实际上，储存在间随内的电能受制于连接板内储存的电能，其谐振如周例3.4.1中MQS和EQS系统的耦合来描述在以后几节中，我们将用式(7)来研究宏观媒质中能量的储存与损耗。11.3具有线性极化与磁化的欧姆导体考虑由这些本构定律摘述的稳定材料P=Ex,E2MoM=μomHJ.=E(1)其中锻化率入。磁化率×m磁导率μ、介电常数e和电导率部是与时间无关的。用这些构成定律丧示P和M时，式(11.2.7)中的磁化和极化项将变为E-%=(ox,E.E)2 -8(-)(2)· 356
因为这些项是以时间的全导数出现在等式(11.2.7)中，显而易见，在具有“线性”本构定律的材料中，能量是在极化和磁化的过程中储存的。将这些项代入等式(11.2.7)和对于J。的欧姆定律中，那么就可得到一个11.1节所讨论的那种形式的守恒定律。对于满足欧姆定律的电的与磁的线性材料来说，积分和微分形式的守恒定律分别为等式(111.1)与(11.1.3),邸[S=ExH(3a)W-TE.E+TuH.H(3b)PA-CE.E(3c)功率通量密度S和能最密度W和11.2节在自由空间守恒原理中情况一样。在极化与磁化过程中的能量储存，可简单地用e和u分别代替自由空间的介电常数和磁导率来计算Pa项总是为正，且看起来表示电磁系统功率损耗的变化率。事实上，P表示转换成热形式的功率可以通过考虑欧姆传导定律的原型导出。根据7.1节引人的双向导电模型，正负载流子分别受力于，与-。这些力通过与周圃粒子碰撞而被平衡，于是电场力迫使粒子迁移而作的功被转换成热能。如果所有粒子族的速度分别为、与-，粒子的密度分别为N、和N-，那么对载流子所作的功(每单位体积)为(4)Pa=N.f..++N.f.D.承认了碰撞力与电场力之间的平衡。那么式(4)中的力可分别用[4-IE和—19-1E代替，则有(5)Pa=N.Iq+IE.D,-N-Ig-IE..如果速度依次写成各自迁移率和宏观电场的乘积式(7.1.3)，可得Pa=-(N.lq+lu++N-iq-lu)E.E-gE.E(6)其中巴应用了电导率的定义式(7.1.7)。功率损耗密度Pa=oE·E(W/m)表示从电磁系统到热系统的能量损耗率。婴哈5例 11.3. 1 稳定的电流分布的坡印享失量正例7.5.2中，我们已讨论了与形导体对应的由电池供电的圆导体内部和其周用的电场。这里，我们来确定坡印亭失最场，并研究它与能盘损耗密度的空间关系首先,在圆柱导体内[图11.3.1所示的区域(b))求得电场是均勾的见式(7.5.7)],(7)Ei两在周围的自由空间区城内，电场［根据式(7.5.11)】为+--a(a/[i,+In(0/a), ](8)在圃盘导体内[根据式(7.5. 9)得(9) Ea(a i.+357
由于对称，滋场强度沿Φ方向。H的Φ分量可根据安培定律的积分形式很容易算出来。由式(7)可求得呕形导体内电流密度为 J。=α·u/L。于是2rHaJnr H-; r)(10)-;(11)2nrH,=J.nb2在盘形导体中磁场的分市同样可从安培定律推导出来。在这个区域中，由电流密度J=E"最容易计算安培磺分定律的分量,其中 E 由式(9)给出。 这个编微分方程对“的积分给出≥的一个线性函数加上一个是“的函数的“积分常数"。后者可以通过之L处H。应该连续来确定H--n(a/)(+2) +%(12)从最后的凹个方程可以得到，在圆柱导体内P，在周围空间中，以及在盘状电极中坡邸亭矢量分别为(13)Sb--2gri,-n(a)(2i-ngi)(14)S2(L+2)+面(15)S`=[in-(a/tS 的这一分布略图示于图 11.3. 1 中。由图可见竭里有功率损耗密度，哪里就一定有一负的 S 散度。 于是在导体内，S线终止于体积内。在自由空间区域(a),S是无散的。即使场在时间上是很稳定的，，但是功率可以看作从蔽开的空间流人，且在有能量损耗的体积内被吸收。玻印享矢量对包围内导体的整个表面积分给出了我们所希望的值，或者由电路的观点-f EXH.da=(2nbL)(2))=(abV.) =0i(16)这里；是通过谢柱的总电流，或者从积分的守恒定律右边计算出来的。(17)J,@E. Ed -(abL)o() -(rbo号)-0i(e)围11.8.1同轴电阻器和相关白由空间内的被印亮通盛的分布。其构型与例7.5.2 相同。左边的电源给盘状的和圆柱的电阻性材料供给电流。外部的和右增的导体都是完纯导体。要注意印使电流稳定时，在自由空间内部区域中仍有坡印享遥益。电准静态系统中的另一个守恒定律描述电准静态系统时，要求计算磁场强度是不方便的。现在，我们考虑一个专门用于EQS系统的另一个守恒定理。我们将找到S的另一个表达式，其中不包括H。在寻求S的另一个分布过程中，我们将说明把意义归结于在某点计算的S而不是它对一个闭合面进行积分的危险性。在EQS近似中,E是无旋的。于是+ 358