《线性代数》课程教学资源（习题解答）第二章 矩阵

推论对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B，使AB=E（或BA=E)，则A一定可逆，且B = A-l证由AB=E,有AB=1≠0,得A+0，故A"存在，且B= EB=(A-"A)B= A-'(AB)= A-'E= A-1.设A，B均为同阶可逆方阵，数≠0，则有下列运算法则成立：(1)A-亦可逆，且（(A-")-=A;(2）元A亦可逆，且(AA)"=IA-",(3）AB亦可逆，且(AB-")=B-"A-若A=B,则(A")"=(A-")?，一般地有(A")-=(A")"(4）A亦可逆，且(A)"=(A-").例9求方阵[222]12336的逆矩阵A-!解因为「AI=2+0，所以A-存在，先求A的伴随矩阵AA, =3,A2 =-3,A3 = 1,A21 = -6, A22 = 10, A23 = -4,A1 = 2, A2 = -4, A3 = 2,-6273-310-4A2-4-6210A4[A]22-4例10设11

11 推论 对于 n 阶方阵 A ，若存在 n 阶方阵 B ，使 AB E BA E = = (或 ), 则 A 一定可逆， 且 B 1 A . − = 证 由 AB E = , 有 A B = 1 0, 得 A  0 ，故 1 A − 存在， 且 ( ) ( ) 1 1 1 1 B EB A A B A AB A E A − − − − = = = = = . 设 A , B 均为同阶可逆方阵，数  ≠0，则有下列运算法则成立： (1) −1 A 亦可逆，且( 1 ( ) − − A A= ; (2)  A 亦可逆，且 1 1 ( )   − − A A = ； (3) A B 亦可逆，且 1 ( ) − − − AB B A = . 若 A = B ,则 2 1 2 ( ) ( ) − − A A = ，一般地有 1 ( ) ( ) n n − − A A = . (4) A 亦可逆，且 1 ( ) ( ) − − A A   = . 例 9 求方阵 222 1 2 3 1 3 6           A = 的逆矩阵 −1 A . 解 因为｜ A ｜=2≠0，所以 −1 A 存在，先求 A 的伴随矩阵  A . 11 12 13 A = A A 3, 3, 1, = − = 21 22 23 A = A A − = = − 6, 10, 4, 31 32 33 A = A A 2, 4, 2, = − = 3 6 2 3 10 4 1 4 2    −   = − −       − A ， 1 3 6 2 1 1 3 10 4 2 1 4 2 −    −   = − −       − A A = A . 例 10 设

2313[21]20221B=1:=[5331343求矩阵X使满足AXB=C.解若A-1、B-均存在，则用A-I左乘上式，B-I右乘上式，有A-"AXBB-"= A-'CB-1,即X = A'CB-.由于IAI=2,IB[=1,故A-l、B-存在，且-2715-23-3R-A-l=225-111于是13-25-23-172-30X = A-'CB-1122-5S112A10040n-10[260026时，求B.例11设A可逆，且AB=A+B，证明B可逆，当A=Lo02解由AB=A-+B=A-"+EB，得(A" -E)B= A-.(2-1)于是|A-EIB=A-"|0，所以|B≠0，即B可逆，再由(2-1)式，得B=(A -E)A-" =[A(A" -E)]}-" -[AE-A}",其中12

12 1 2 3 2 2 1 3 4 3           A = ， 2 1 5 3       B = ， 1 3 2 0 3 1           C = ， 求矩阵 X 使满足 AXB = C. 解 若 −1 A 、 −1 B 均存在，则用 −1 A 左乘上式， −1 B 右乘上式，有 − − − − 1 1 1 1 A AXBB A CB = ， 即 − − 1 1 X A CB = . 由于｜ A ｜=2,｜ B ｜=1，故 −1 A 、 −1 B 存在，且 1 1 3 2 3 5 3 2 2 1 1 1 −   −   = − −       −   A ， 1 3 1 5 2 −   −     − B = ， 于是 1 1 1 3 2 1 3 3 5 3 1 3 2 0 2 2 5 2 3 1 1 1 1 − −   −       − = − −         −      −   X = A CB 1 1 2 1 3 1 0 2 10 4 5 2 0 2 10 4     −       − = − = −         −         − . 例 11 设 A 可逆，且  −1 A B = A B+ ，证明 B 可逆，当 2 6 0 0 2 6 0 0 2           A = 时，求 B . 解 由  − − 1 1 A B = A B = A EB + + ，得 1 ( )  − A E B = A − . （2-1） 于是|  A - E || B |=| −1 A |≠0，所以| B |≠0，即 B 可逆，再由 (2 1− ) 式，得 1 1 1 ( ) [ ( )] [ ]  −  − − B = A E A = A A E A E A − − = − ， 其中