《线性代数》课程教学资源（习题解答）第二章 矩阵

例3设A，B分别是nx1和1×n矩阵，且[a]a2A=B=(b b, ... b,),:[an]计算AB和BA解ab ab,.. ab.aa,ba,b.a,bnazAB=bb.)=：..Lanabab,..abh[a]a2BA=(b b, ..b.)=ab +a,b, ++a,bn：..La,]AB是n阶矩阵，BA是1阶矩阵（运算的最后结果为1阶矩阵时，可以把它与数等同看待，不必加矩阵符号，但是在运算过程中，一般不能把1阶矩阵看成数），例4如果A=（a,）xn是一齐次线性方程组的系数矩阵，而(0)x0X20=X=+:+ *(oX分别是两个nx1矩阵，那么该齐次线性方程组就可以写成矩阵的形式Ax=0.注意：1.一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律，即AB≠BA.如例2和例3若AB=BA，则称A与B可交换2.当AB=0时，不一定有A=0或B=0.如例23.矩阵的乘法不满足消去律，即当AC=BC，且C≠0时，不一定有A=B(1 2)0,B=例如：A:C:04(03)00(12)(11AC=(66 )-(6)则-6 98 8-631BC=显然AC=BC.且C±0.但A±B.但在假设运算都可行的情况下，矩阵的乘法仍满足下列运算律：6

6 例 3 设 A ， B 分别是 n1 和 1n 矩阵，且 1 2 n a a a             A = ， B = (b b b 1 2 n ) , 计算 AB 和 BA. 解 ( ) 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 n n n n n n n n a a b a b a b a a b a b a b b b b a a b a b a b             =             AB = . ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 n n n n a a b b b a b a b a b a       = + + +       BA = . AB 是 n 阶矩阵, BA 是 1 阶矩阵(运算的最后结果为 1 阶矩阵时,可以把它与数等同看 待,不必加矩阵符号,但是在运算过程中,一般不能把 1 阶矩阵看成数). 例 4 如果 ( )ij n n a A =  是一齐次线性方程组的系数矩阵，而 1 2 n x x x             x = , 0 0 0             0= 分别是两个 n1 矩阵，那么该齐次线性方程组就可以写成矩阵的形式 Ax = 0. 注意：1.一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律，即 AB BA  .如例 2 和例 3. 若 AB BA = ，则称 A 与 B 可交换. 2.当 AB o = 时，不一定有 A o = 或 B o = .如例 2. 3.矩阵的乘法不满足消去律，即当 AC BC = ，且 C  0 时，不一定有 A B = . 例如： 1 2 1 0 1 1 , , , 0 3 0 4 0 0 A B C       = = =             则 1 2 1 1 1 1 , 0 3 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 , 0 4 0 0 0 0 AC BC      = =                = =           显然 AC BC = , 且 C  0, 但 A B  . 但在假设运算都可行的情况下，矩阵的乘法仍满足下列运算律：

(1)（AB)C=A(BC)：(结合律)(2）A(B+C)=AB+AC：（左分配律）(B+C)A=BA+CA：（右分配律)(3)(AB)=(A)B(其中为数).对于单位矩阵E，容易验证EmAmn =Amxn' AmxnE,=Amxn*运算律（1)中令A=B=C为方阵，则A(A·A)=A称为方阵E的3次幂.一般地，称A"=A·AA为方阵A的n次暴，规定n个A°=E.例5已知矩阵[2-1 24-24A=2-12求A".解1:A=22)21[1][1]][:.A? =2(2,-1,2)22-1 2)=2A,11],-2"-12"2"224+/..A" = 2"-|A=-2"2-12"2"四、矩阵的转置定义5把矩阵A的行换成相应的列，得到的新矩阵称为A的转置短阵，记作A'（或A），例如矩阵0007

7 (1) ( ) ( ) AB C = A BC ；(结合律) (2) A B + C = AB + AC ( ) ；(左分配律) ( ) B + C A = BA+ CA ；(右分配律) (3)   ( ) ( ) AB = A B (其中  为数). 对于单位矩阵 E ，容易验证 E A = A m m n m n   ， A E = A m n n m n   . 运算律(1)中令 A = B = C 为方阵，则 3 A A A = A ( )  称为方阵 E 的 3 次幂.一般地，称 n n    个 A = A A A 为方阵 A 的 n 次幂，规定 0 A = E . 例 5 已知矩阵 2 1 2 4 2 4 2 1 2   −   = −       − A 求 n A . 解 ∵ ( ) 1 2 2 1 2 1     −       A = ∴ ( ) ( ) 2 1 1 2 2, 1, 2 2 2 1 2 2 1 1             − − =                   A = A , ∴ 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n − − + + −   −   −     −   A = A = 四、 矩阵的转置 定义 5 把矩阵 A 的行换成相应的列，得到的新矩阵称为 A 的转置矩阵，记作 A （或 T A ），例如矩阵 0 0 0 a b c       A =

的转置矩阵[oabA'=oc由矩阵的定义，易得如下运算律：(1) (A)'=A;(2) (A+B)= A'+B';(3)(^A)=A"同时可以证明(4) (AB)'= B'A', (A")=(A')".事实上，设A=(a,)ms，B=(b,)sn，记AB=C=(c,)mxn，B'A=D=(d,)mm，于是有ZatbuCfi=k=l而ajaj2bst)d,=(bbai>...buajkabrk=lk=l[as]所以d,=Cji(i=1,2,.,n,j=1,2,..,m),即C'=D，也就是(AB)=B'A"设A为n阶方阵，若A'=A，即(i,j=1,2,,n),a, =-aj那么，A称为对称矩阵：若A=-A，即(i, j=1,2,...,n),a,=aj那么，A称为反对称矩阵易知，对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等：而反对称矩阵的特点是：以主对角线为对称轴的对应元素绝对值相等，符号相反，且主对角线上各元素均为0.例6设8

8 的转置矩阵 0 0 0 a b c            A = . 由矩阵的定义，易得如下运算律： (1) ( ) A = A   ; (2) ( ) A+ B = A + B    ; (3) ( )   A = A  . 同时可以证明 (4) ( ) AB = B A    , ( ) ( ) n n A = A   . 事实上，设 ( )ij m s a A =  ， ( )ij s n b B =  ，记 ( )ij m n c AB = C =  ， ( )ij n m d  B A = D =   ,于 是有 1 s ji jk ki k c a b = =  . 而 ( ) 1 2 1 2 1 1 j s s j ij i i si ki jk jk ki k k js a a d b b b b a a b a = =       = = =           ， 所以 ij ji d c = ( 1,2, , ; 1,2, , ) i n j m = = ， 即 C = D  ，也就是 ( ) AB = B A    . 设 A 为 n 阶方阵，若 A = A  ，即 ij ji a a = − ( , 1,2, , ) i j n = ， 那么， A 称为对称矩阵；若 A = A  − ,即 ij ji a a = ( , 1,2, , ) i j n = , 那么， A 称为反对称矩阵. 易知，对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等；而反对称矩阵的特 点是：以主对角线为对称轴的对应元素绝对值相等，符号相反，且主对角线上各元素均为 0. 例 6 设

L103B=2 -11[3 22-1那么567107AB=10 -5]1-237-1 0 2B'4-123-21005B'A'=(AB)675例7设A是n阶反对称矩阵，B是n阶对称矩阵，证明AB+BA是n阶反对称矩阵证因为A=-A,B'=B(AB+BA)'=(AB)+(BA)'=B'A'+ A'B'= B(-A)+(-A)B=-(AB+BA).所以结论成立五、方阵的行列式定义6由n阶方阵A的元素构成的行列式（各元素位置不变），称为方阵A的行列式记作丨A|或detA设A，B为n阶方阵，入为实数，则有下列等式成立（证明略）：(1)IA"|=IAI;(2)IAI="IAI:(3)IABI=|AI:IBI.若A=(α）为n阶方阵.行列式丨A丨的各元素a,的代数余子式4,亦可构成如下方阵：[AA..AnA2 A2.. An2A"=[AnAn.. Am]称为A的伴随短阵，由行列式按行（列）展开公式，可验证AA=AA"=|AE.例8设A是n阶方阵，满足AA'=E，且|A|=-1，求|A+EI.解由于9

9 1 1 2 103 1 2 1   −         − − A = , 1 1 2 1 3 2     −       B = , 那么 5 6 10 7 0 5           − AB = ， 1 1 1 1 0 2 2 3 1   −    −       − A = , 1 2 3 1 1 2        − B = , 5 10 0 ( ) 6 7 5      =     − B A = AB . 例 7 设 A 是 n 阶反对称矩阵， B 是 n 阶对称矩阵，证明 AB + BA 是 n 阶反对称矩阵. 证 因为 A = A  − , B = B  ( ) ( ) ( ) AB + BA AB BA B A + A B        = + = = − + − − B A A B = AB + BA ( ) ( ) ( ) . 所以结论成立. 五、 方阵的行列式 定义 6 由 n 阶方阵 A 的元素构成的行列式(各元素位置不变)，称为方阵 A 的行列式， 记作｜ A ｜或 det A . 设 A , B 为 n 阶方阵，  为实数，则有下列等式成立(证明略)： (1) ｜ A ′｜=｜ A ｜； (2) ｜  A ｜=  n ｜ A ｜； (3) ｜ A B ｜=｜ A ｜·｜ B ｜. 若 A = (aij) 为 n 阶方阵.行列式｜ A ｜的各元素 ij a 的代数余子式 Aij 亦可构成如下方阵： 11 21 1 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A              A = ， 称为 A 的伴随矩阵，由行列式按行(列)展开公式，可验证   A A = AA A E = . 例 8 设 A 是 n 阶方阵，满足 AA = E  ，且| A |=-1，求| A + E |. 解 由于

A+E|=A+AA=A(E+A)=A|(E+A)=-(E+A)=-[A+E],所以2|A+E|=0即1A+E |=083矩阵的逆定义7设A为n阶方阵，若丨A「=0，则称A为异短阵；否则，称A为非奇异短陈定义8对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B，满足AB=BA=E,则称方阵A可遵，且把方阵B称为A的遵短阵如果A是可逆的，则A的逆矩阵惟一事实上，设B、C都是A的逆矩阵，则一定有B= BE = B(AC)=(BA)C= EC =CA的逆矩阵记作A-I，即若AB=BA=E，则B=A-I定理1设A是n阶方阵，A是非奇异矩阵的充分必要条件为A是可逆的1且A-l=A，其中A为A的伴随矩阵.[A证先证必要性.设A为非奇异矩阵，即「A「≠0：由伴随矩阵A的性质，有AA=AA=AE.因丨A|≠0，则[14] =E.AA即知A-1A说明A是可逆的[4]下面证充分性由于A是可逆的，即有A-"，使A"A=E，故丨A"A|=E「=1,即丨A-·！AI=1.所以IA「≠0，说明A是非奇异矩阵10

10 A+ E A+ AA A E + A = =   ( ) = = − A E + A E + A ( ) ( )   = − A+ E , 所以 2| A + E |=0 即 | A + E |=0 §3 矩阵的逆 定义 7 设 A 为 n 阶方阵，若｜ A ｜=0，则称 A 为奇异矩阵；否则，称 A 为非奇异矩 阵. 定义 8 对于 n 阶方阵 A ,如果有一个 n 阶方阵 B ，满足 AB = BA = E ， 则称方阵 A 可逆，且把方阵 B 称为 A 的逆矩阵. 如果 A 是可逆的，则 A 的逆矩阵惟一. 事实上，设 B 、C 都是 A 的逆矩阵，则一定有 B = BE B AC = BA C = EC = C = ( ) ( ) . A 的逆矩阵记作 −1 A ，即若 A B = B A = E ,则 B = −1 A . 定理 1 设 A 是 n 阶方阵， A 是非奇异矩阵的充分必要条件为 A 是可逆的. 且 −  1 1 A = A A ， 其中  A 为 A 的伴随矩阵. 证 先证必要性.设 A 为非奇异矩阵，即｜ A ｜≠0；由伴随矩阵  A 的性质，有   AA = A A A E = . 因｜ A ｜≠0，则 1 1               A A = A A = E A A . 即知 −  1 1 A = A A ，说明 A 是可逆的. 下面证充分性. 由于 A 是可逆的，即有 −1 A ，使 −1 A A = E ,故｜ −1 A A ｜=｜ E ｜=1,即｜ −1 A ｜·｜ A ｜=1.所以｜ A ｜≠0，说明 A 是非奇异矩阵