1、定义定义2如果对于任意给定的正数8（不论它多么小）总存在正数 8 ,使得对于适合不等式 0<x-x<8的一切x，对应的函数值f(x）都满足不等式f(x)-A<8那么常数A就叫函数f(x）当x→x时的极限记作lim f(x)= A 或 f(x)→A(当x →x)x-→xo"ε-8"定义V>0,3>0,使当0<x-x<时,恒有,f(x)- A<8
" − "定义 ( ) . 0, 0, 0 , 0 − − f x A x x 恒有 使当 时 定义2 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在正数 ,使得对于适合不等式 的一切 ,对应的函数值 都满足不等式, 那么常数 就叫函数 当 时的极限, 记作 − 0 x x0 x f (x) f (x) − A A f (x) x → x0 lim ( ) ( ) ( ) 0 0 f x A f x A x x x x = → → → 或 当 1、定义
注意：1.函数极限与f(x)在点x.是否有定义无关2.8与任意给定的正数有关2.几何解释yy= f(x)当x在x,的去心8邻A+ε域时,函数y= f(x)A图形完全落在以直A-ε线y= A为中心线1s宽为2c的带形区域内Xo-dxo+Xo0x：显然,找到一个后,就有无穷多个
2 . , , ( ) 0 宽为 的带形区域内 线 为中心线 图形完全落在以直 域时 函数 当 在 的去心 邻 = = y A y f x x x 注意： 1. ( ) ; 函数极限与f x 在点x0是否有定义无关 2.与任意给定的正数有关. y = f (x) A− A+ A − 0 x + 0 x 0 x x y o 显然,找到一个后,就有无穷多个. 2.几何解释:
证明 lim x = xo.例3x-→xo证:If(x)-A=x-xol, 任给>0, 取8 =8,当0<x-x<=时,f(x)-A=x-x<ε成立,.:. lim x = Xox→xo
证 例3 lim . 0 0 x x x x = → 证明( ) , x A x x0 f − = − 任给 0, 取 = , 0 , 当 x − x0 = 时 0 f (x) − A = x − x 成立, lim . 0 0 x x x x = →
x2-4例4 证明lim4x-2x-→2证函数在点x=2处没有定义x2-4 -4 =|x-2: f(x)- A任给>0,x-2要使|f(x)-A<8, 只要取=8,x2-4当0<x-xl<8时,就有<8,x-2x?-1. lim= 2.x-1x-→1
例4 4. 2 4 lim 2 2 = − − → x x x 证明 证 4 2 4 ( ) 2 − − − − = x x f x A 任给 0, 只要取 = , 0 , 当 x − x0 时 函数在点x=2处没有定义. = x − 2 要使 f (x) − A , 4 , 2 4 2 − − − x x 就有 2. 1 1 lim 2 1 = − − → x x x
例5证明：当[x<0时,lim /1-x2=1-xx?-x证-1(x)-A-1--1-) -M1--+/1-x-x+l2x-/1-xi/1-x任给ε>0, 要使 f(x)-A<8,只要x-x<>-8. 取s-_1-822当0<x-xol<时,就有/1-x2 -/1-<.. lim V1-x2 = /1-x .x-xo
例 5 lim 1 1 . 20 2 0 x x x x − = − → 证 20 2 f ( x ) − A = 1 − x − 1 − x 任给 0 , , 2 1 20 − x 取 = 0 , 当 x − x0 时 20 2 20 2 1 x 1 x x x − + − − = 要使 f (x) − A , 1 1 , 20 2 就有 − x − − x , 1 2 1 200 20 0 0 x x x x x x x x −− − − + . 2 1 20 0 x x x − 只 要 − : | | 0 , lim 1 1 . 20 2 0 0 x x x x x − = − → 证 明 当 时