《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第二十一章 重积分 第一节 重积分的概念

第二十一章 重积分一重积分的概念一、平面图形的面积由确界定理可以推得，对于平面上所有直线网，数集 S，有上确界，数集 S，有下确界X0记 I,= sup S,, I = inf S,显然有0≤I≤Ipp通常称I为p的内面积，I,为p的外面积P的外面积

第二十一章 重积分 一 重积分的概念 一、平面图形的面积 o x y 由确界定理可以推得，对于平面上所有直线 网，数集 p s 有上确界，数集 p S 有下确界 记 _ sup , inf p p p p I S I S − = = 显然有 通常称 p I p − 为 的外面积 的外面积。 p I p − 为 的内面积， 0 p p I I − −  

定义1若平面图形p的内面积_」等于它的外面积I,则称p为可求面积，并称其共同值p=I =Ip为p的面积.定理21.1平面有界图形T可求面积的充要条件是：对任意的ε>0 使得S,-S,<.的面积为证：[必要性]设平面有界图形 P 总存在直线网 Ip。由定义l，有I,=I =Ip,对任意的O，由I及IpP的定义可知，分别存在T与T，使得?无法显示该图片。63,(G)>1,-号,5,(T.)<1,+2

由定义1，有 定理21.1 平面有界图形 定义1 若平面图形 p 的内面积 等于它的外面积 可求面积的充要条件是： 对任意的  0 总存在直线网 T 使得 . p p S s −   证 ：[必要性]设平面有界图形 p 的面积为 p I 。 1 2 p p p , 0 p p I I I I I T T  − − − − = = 对任意的 ，由 及 的定义可知，分别存在 与 ，使得 1 2 ( ) , ( ) 2 2 p p p p s T I S T I    −  + ， p I − p . p p p I I I p − − = = 则称 为可求面积，并称其共同值 为 的面积 , p I −

记为由与这两个直线网合并所成的直线网可证得：S,(T)≤s,(T),S,(T)≥ S,(T)于是由（3）可得<I,+=,从而得到对T有S,(T)-s,(T)<8Os,S,(T) > IAPD2[充分性] 设对任给的s>0，，存在某直线网 T，使得(2) 式成立。但s,(T)≤I ≤Ip ≤ S,(T)-p所以Ip-I ≤S,(T)-Sp(T)<8

1 2 ( ) ( ), ( ) ( ) p p p p s T s T S T S T   记为由与这两个直线网合并所成的直线网     −  + . − ( )  2 , 2 s p (T) I p Sp I p 从而得到对T有S（P T） s p T 可证得： 于是由（3）可得 [充分性] 设对任给的   0， ，存在某直线网 T， （2）式成立。 使得 ( ) ( ). ( ) ( ) . p p p p p p p p s T I I S T I I S T s T  − − − −  −  −  但 所以

无法显示无法显示该图片，由ε的任意性,I=Ip,因此平面图形P可求面种。1由不等式(I)及定理21.1立即可得：推论平面有界图形P的面积为零的充要条件是它的外面积Ip=o即对任给的ε>O,存在直线网T，使得S,(T)<8,或对住给的ε>0平面图形P能被有限个其面积总和小十小矩形所覆盖的总和

, (1) 21 1 p P  I I P − − 由 的任意性， = 因此平面图形 可求面积。 由不等式 及定理 、立即可得： 推论 平面有界图形P的面积为零的充要条件是它的外面积 = 0 − I p 即对任给的 存在直线网T，使得 ( ) p S T  ， 或对任给的   0 ，平面图形P能被有限个其面积总和小   0， 于小矩形所覆盖的总和

定理21、2平面有界图形P可求面积的充要条件是：P的边界K的面积为零证：由定理21.1，P可求面积的充要条件是对Vε>0存在直线网T,使得 S,(T)-s,(T)<ε. 由于S,(T)=S,(T)-s,(T),所以也有 S,(T)<s。。由上述推论，P的边界K的面积为零,定理2 1.3若曲线K为由定义在［a,bl上的连续函数f(x)的图象，则曲线K的面积为零证：由于f(x)在闭区间[a,b]上连续，所以它在[a,bl上一连续。因而对 Vε>0,总存在>0. 当把区间[a,b]分成n个小区间

定理21、2 平面有界图形P可求面积的充要条件是：P的 边界K的面积为零 证 ：由定理21.1，P可求面积的充要条件是对    0， S (T) − s (T)  . p p ( ) ( ) ( ) 存在直线网T，使得 由于S T S T s T k p p = − ， 所以也有 ( ) S T k  。 。由上述推论，Ｐ的边界Ｋ的面积为零。 定理２１.３ 若曲线Ｋ为由定义在［a,b]上的连续函数f(x)的 图象，则曲线Ｋ的面积为零. 证: 由于f(x)在闭区间[a,b]上连续，所以它在[a,b]上一连 续。因而对    0，总存在  0. 当把区间[a,b]分成n个小区间