4二重积分的变量变换引理 设变换T:x=x(u,v),y=y(u,v)将uv平面上的由按段光滑封闭曲线所围的闭区域△，一对一地映成xy平面上的闭区域D，函数x(u,v),(u,v)在△内分别具有一阶连续a(x,y)偏导数且它们的函数行列式J(u,v)+0,(u,v) e △,三a(u, v)则区域D的面积u(D)=[J(u,v)]dudv△
( , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) , ) 0,( , ) , ( , ) ( , ) T x x u v y y u v uv xy D x u v y u v x y J u v u v u v D D J u v dudv = = = = 设变换 ： 将 平面上的由按 段光滑封闭曲线所围的闭区域 ，一对一地映成 平面上 的闭区域 ，函数 在 内分别具有一阶连续 偏导数且它们的函数行列式（ 则区域 的面积（ ） 4 二重积分的变量变换 引理
12u.3yuv由于J(u,v)=>0,(u,v)e△,71u2V所以 μ(D)=[[doDurr-dudyV>rβ dvChuduAαJmV(n2 -m")(β3 -α")6α'β3
2 3 4 2 4 2 2 3 3 3 3 1 2 ( , ) 0,( , ) 1 ( ) ( )( ) 6 D n m u v v u J u v u v u v v v D d u dudv v dv udu v n m − = = − = = = − − = 由于 ， 所以
x-y例]: 求[[ eex+ydxdy，其中D是由x=0,y=0,Dx+y=1所围区域解：为了简化被积函数，令u=x-y,=x+y。1为此作变换T:x=-(v-u), 则(u+y)121122J(u,v) =>C1122 2华在变换T的作用下，区域D的原象△如图所示所以
所以 在变换 的作用下，区域 的原象 如图所示。 为此作变换 ，则 解：为了简化被积函数，令 。 所围区域 例 ：求 ，其中 是由 = − = = + = − = − = + + = = = + − T D J u v T x u v y v u u x y v x y x y e dxdy D x y D x y x y 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( , ) ( ) 2 1 ( ), 2 1 : , 1 1 0, 0
证明：下面给出当y(u,v)在△内具有二阶连续偏导数时的证明，对y=(u,)具有一阶连续偏导数条件下的证明在本章9中给出。由于T是一对一变换，且J(u,v)≠0,因而T把△的内点变为D的内点，所以△的按段光滑曲线L变为D时，其边界曲线L,也是按段光滑的。设曲线L的参数方程为u=u(t), v= v(t),(α≤t ≤β)
( ), ( ),( ) ( , ) 0, 9 ( , ) ( , ) = = = u u t v v t t L L D L D T J u v T y u v y u v D 设曲线 的参数方程为 滑的。 曲线 变为 时，其边界曲线 也是按段光 的内点变为 的内点，所以 的按段光滑 由于 是一对一变换，且 因而 把 续偏导数条件下的证明在本章 中给出。 续偏导数时的证明，对 具有一阶连 证明：下面给出当 在 内具有二阶连
由于L按段光滑，所以u'(t),v(t)在[α，βi上除去有限个第一类间断点外，在其它的点上连续。因为L，=T（L），所以L,的参数方程为x = x(t) = x(u(t), v(t)y= y(t) = y(u(t),v(t), (α≤t≤β)若规定t从α变到β时，对应L,的正向，则根拒格林公式，取P(x,y)=0.Q(x,y)= x,有μ (D)= fxdy= [" x(t)y(t)dt =JL(D)u) v()]dt,(6)Ox(u, v)[+OvOu
( , )[ ( ) ( )] ,(6) ( ) ( ) , ) 0. ( , ) , ( ) ( ( ), ( )),( ) ( ) ( ( ), ( )), ( ), ( ) [ ] ( ) v t dt v y u t u y x u v D xdy x t y t dt P x y Q x y x t L y y t y u t v t t x x t x u t v t L T L L L u t v t L D D D D + = = = = = = = = = = = （ ） 拒格林公式，取 （ 有 若规定 从 变到 时，对应 的正向，则根 参数方程为 的点上连续。因为 （ ），所以 的 上除去有限个第一类间断点外，在其它 由于 按段光滑，所以 在