《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第三章 函数极限

2.另两种情形lim f(x) = A1. x →-8 情形:X-→-8V>0,X>0,使当x<-X时,恒有|f(x)-A<.2. x→80 情形:lim f(x) = AV>0,X >0,使当/x>X时,恒有f(x)-A<8.定理: lim f(x) = A ← lim f(x) = A且 lim f(x)= A

. x →  情形 : 0 2   0, X  0,使当| x | X时,恒有 f (x) − A   . . x → − 情形 : 0 1 f x A x = →− lim ( )   0,X  0,使当x  −X时,恒有 f ( x ) − A   . lim f x A x = → ( ) 定理:lim x→ f (x) = A  lim f (x) A lim f (x) A. x x = = →+  且 →−  2.另两种情形:

3.几何解释： lim f(x)= ATsinxVX?A0XX当x<-X或x>X时,函数y= f(x)图形完全落在以直线y= A为中心线，宽为2ε的带形区域内

x x y sin = −   − X X , 2 . , ( ) 直线 为中心线 宽为 的带形区域内 当 或 时 函数 图形完全落在以 =   −  = y A x X x X y f x A lim f x A x = → 3.几何解释: ( )

1证明lim -—=0例1x→0 x1证-0<8,-0一Txx1V>0, 取X=-,S则当 x>X时恒有811L故 lim - = 0.Y=-0<8,x->0 Xx

例 1 0 . 1 lim = x →  x 证明 证 x x1 0 1  − =   ,   0 , , 1 取 X = 则当 x  X时恒有 0 , 1 −   x 0. 1 lim = x →  x 故

元证明 lim arctan x =例22x→-8证元V> 0,larctan x-(m介2元元< arctan x < :822<，则有:的范围,8<左半部分成立，只考察右半部分2元元x<tantanC822元Vε>0,取X=tan则当 x>X时恒有2 元元< , 故 lim arctan xarctan x -20

例2 . 2 lim arctan  = →−  x x 证明 证   0, , 2 tan       = −  取 X 则当 x  X时恒有 ) , 2 arctan (   x − −  2 arctan 2 )| 2 0,| arctan (        − −   −   − −   x x 左半部分成立，只考察右半部分 的范围， ，则有： 2           = − −       −     2 tan 2 x tan . 2 lim arctan  = →−  x x 故

二、自变量趋向有限值时函数的极限问题:函数=f(x)在x→x,的过程中,对应函数值f(x)无限趋近于确定值Af(x)-A<ε表示f(x)-A任意小;0<-x< s表示x→x,的过程88x -8xoxxo +8点x，的去心邻域8体现x接近x程度

问 题:函 数 y = f ( x)在 x → x0的过程中,对 应 函数值 f (x)无限趋近于确定值 A. f (x) − A   表示 f (x) − A任意小; x0 −  x0 +  x x0   , 点x0的去心邻域 体现x接近x 程度.  0 x x 表示x x的过程. 0 0 0  −   → 二、自变量趋向有限值时函数的极限