《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第二十一章 重积分 第五节 三重积分

第二十一章 重积分第五节三重积分一三重积分的概念定义1 设f(x,y,z）为定义在三维空间可求体积的有界闭区域上的函数，J是确定的数，若对任给的整数，总存在一整数 ，使得对于 V 的任何分割 T，只要 ITIl<,Z f(ci,ni,5,)AV, -J<8属于分割T的所有积分和都有1i-1f(x,y,2) 则称在 V 上可积，数 J 称为函数 f(x,y,z)在　√上的三重积分

在一整数 第五节 三重积分 第二十一章 重积分 一 三重积分的概念 定义1 设 f (x, y,z) 为定义在三维空间可求体积的有界闭 区域上的函数， 是确定的数，若对任给的整数  ，总存  ，使得对于 V 的任何分割 T ，只要 || || , T   属于分割 T 的所有积分和都有      −   = n i i i i i f V J 1 ( , , ) 则称在 V 上可积，数 J 称为函数 在 V 上的三重积分。 J f x y z ( , , ) f x y z ( , , )

记作 J =[[[ f(x, y,z)dv 或J = [[[ f(x, y,=)dxdydz, 其中V称为积分变量，И称为积分区域Vf(x,y,z）称为被积函数,O当 f(x,y,z)=l时, av的体积在几何上表示二、化三重积分为累次积分5若函数f(x,y,z) 在长方体 V=[a,b]x[c,d]x[e,h]定理21.15上的三重积分，且存在 xe[a,b] ，二重积分(x)= J[ f(x,y,=)dydzT存在,其=[e,d]x[e, 则积分 dax][ F(x,y,=)bydzz 也存在，且D[J f (x, y, z)dxdydz = J, dx JJ f (x, y, =)dydz(1)

记作  = V J f (x, y,z)dV 或  = V J f (x, y,z)dxdydz, 其中 称为被积函数， x, y,z 称为积分变量， 称为积分区域。 V f (x, y,z) 当 f (x, y,z) 1 时，  V dV 在几何上表示 的体积 V 。 二、化三重积分为累次积分 定理21.15 若函数 f (x, y,z) 在长方体 V = a,bc,de,h 上的三重积分，且存在 xa,b ，二重积分 I x f x y z dydz D  ( ) = ( , , ) 存在，其中 D = c,de,h, 则积分 dx f (x y z)dydz b a D   , , 也存在，且 ( , , , , (1) ) ( ) b a V D f x y z dxdydz dx f x y z dydz =   

证明：用平行于坐标面的平面网 T 作分割，它把 V分成有限小长方体 vux =[xi-1,x,]x[y,-1,y,小x[2k-1,z]]

证明：用平行于坐标面的平面网 T 作分割，它把 V 分成有限小长方体  ,   ,   , . ijk i 1 i j 1 j k 1 k v x x y y z z = −  −  −

设Mik,mik分别为f(x,y,z)vik上的上，下确界。对于[x-1,x,]上任一点,,在D;k =[yi-1,y,×[zk-1,z,]上有mykAy,Az, ≤ JJ f(5i, y,z)dlydz ≤ MuAy,AzkDjk现按下标j.k相加，则有E [[ f(5i, y, z)dydz = [[ f(5i, y,z)dydz = I(5)j,k DjkDZ及mjkAx,Ay,Azh≤ EI(E,)Ax, ≤ EMukAx,Ay,Ak: (s)i,j,ki,j,k上述不等式两边是分割 L 的上和与下和, 由于f(x,y,z)V上可积当T→0时，下和与上和有相同的极限，所以由（2）式得

设Mijk ,mijk分别为f (x, y,z)vijk上的上，下确界。   i i i 对于 x −1 , x 上任一点 ,在Dj k = y j−1 , y j zk−1 ,zk 上有 ( ) ijk j k D ijk j k i m y z f y z dydz M y z jk         , , . 现按下标j.k相加，则有  ( ) =  f y z dydz j k D i jk ,  , , ( ) ( )i D i f  y z dydz = I   , , 及   i  j  k  i j k ijk m x y z , , ( ) . , , i j k i j k i ijk i i I  x   M x y z ) 2( 上述不等式两边是分割 T 的上和与下和. 由于 f (x, y,z)V上可积， 当T →0时，下和与上和有相同的极限，所以由（2）式得

1(x)在[a, b]上可积, 且 [' 1(x)=[[ 于(x, y,z)dxdydz现设f(x,y,z)在V上连续,z(x,y),z2(x,y)在D 连续,yi(x),y2 (x)在[a,b]上连续,则有X-V[] f (x, y, z ]dxdydz = [] dxdyx, y,z)dz =Sy2(x)XV(3)dx(x, y,z)dz.xdxdydz例1 计算其中V为由平面x=l,x=2,z=0,y=x与z=y所围的区域x~+yL解 V在xy平面上的投影区域 D=(x,y)|0≤y≤x,1≤x≤2)

I(x) f (x, y,z)dxdydz. V b a  I x( )在a,b上可积，且 = 现设f x y z V ( , , )在 上连续，z x y z x y D 1 2 ( , , , ) ( )在 连续， y x y x a b 1 2 ( ), , ( )在 上连续， 则有 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 , , , , , , z x y z x y V S f x y z dxdydz dxdy f x y z dz = =    ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) 1 1 , , , , b y x z x y a y x z x y dx dy f x y z dz    （3） 1 , 2 2 dxdydz x y V 例 计算 + 其中V为由平面x=1,x=2,z=0,y=x与z=y所围的区域 解 V xy 在 平面上的投影区域 D x y y x x =     ( , 0 ,1 2 ) 