2、直角坐标系下二重积分的计算定理21、8设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]*[c,d]上可积，且对每个x e[a,b],积分[~ (x, y)dy存在，则累次积分~dx[。 f(x,y)dy也存在,且[[ f(x, y)do=[~dx[~ f(x,y)dy. (1)D证：令F(x,y)=["f(x,y)dy,定理要求证明F(x,y)在[a,b]上可积,且积分的结果恰为二重积分。为此，对区间[a,b] [c,d]分别作分割 α= x <x, <...<x, =b,c= y<.….<y, =d。按这些
2、直角坐标系下二重积分的计算 定理21、8设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]*[c,d]上可积，且对每个 [ , ], ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 d b d c a c b d a c D x a b f x y dy dx f x y dy f x y d dx f x y dy = 积分 存在，则累次积分 也存在，且 （ ） 0 1 0 ( , ) ( , ) ( , ) [ , ] , [ , ] [ , ] , d c r s F x y f x y dy F x y a b a b c d a x x x b c y y d = = = = = 证：令 ，定理要求证明 在 上可积 且积分的结果恰为二重积分。为此，对区间 分别作分割 。按这些
分点作直线x = x,(i =1,2,·.·,r -1)及y= yr(k = 1,2,·.·s-1)它把矩形D分为rs个小矩形（如图）记△为小矩形[x,-1,x,]*[yk-1, y,](i = 1, 2, ...r, k = 1, 2, ...s); 设f(x, y)在,上的上确界和下确界为M,和mi.在区间[xi-1,x,}中任取一点s,于是就有不等式miAy,≤f(s,y)dy≤MikAyko其中△yk = Yk - Yk-1°yt因此dC+Xa
它把矩形D分为rs个小矩形（如图） x y a b c d ( 1,2, , 1) ( 1,2, 1) i k 分点作直线x x i r y y k s = = − = = − 及 1 1 [ , ] [ , ]( 1,2, , 1,2, ); i i k k x x y y i r k s − − = = 1 . [ , ] 上的上确界和下确界为M m x x ik ik i i 和 在区间 − 中任取一 1 , ( , ) k k y i ik k i ik k y m y f y dy M y − 点 于是就有不等式 。 k k k 1 y y y 其中 = − − 。 因此 记ik为小矩形 ( , ) ik 设f x y 在
2maAy, ≤F(s)= J" (e, y)dy≤≥MuAyr,k=1k=1(2)22mAy,Ax, =2F(6)4x, ≤22MikAyAx-i-1i-1 k=1i=1 k=-l其中△x, =x,-xi-1,记△,的对角线长度为d;,和|T=max diki,k由于二重积分存在，由定理21、4，当T→0时,ZmikAy;△xi,k
1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( , ) , ( ) s s d ik k i i ik k c k k r s r r s ik k k i i ik k i i k i i k m y F f y dy M y m y x F x M y x = = = = = = = = (2) → = − − = i k i k k i i k i k i i i i k i k T m y x x x x d T d , , 1 21 4 0 . | | max 由于二重积分存在，由定理 、，当 时， 其中 记 的对角线长度为 和
ZMiAy;△x，有相同的极限,且极限值等于[[ f(x,y)doi,kD因此当T|→0时，由不等式（2）可得：Z F(e,)Ax, = JJ f(x, )do.(3)lim11-0i=1D由于当|T→0时，必有 max△x,→0,因此由1≤i≤r定积分定义，（3）式左边lim≥F(e,)Ax, = T' F(x)dx = J'dx]" f(x,y)dyT→>0
, 0 1 ( , ) 0 2 lim ( ) ( , ) .(3) ik k i i k D r i i T i D M y x f x y d T F x f x y d → = → = ，有相同的极限，且极限值等于 因此当 时，由不等式（ ）可得： 1 0 1 0 max 0, 3 lim ( ) ( ) ( , ) i i r r b b d i i T a a c i T x F x F x dx dx f x y dy → = → → = = 由于当 时，必有 因此由 定积分定义（，）式左边
定理21、9设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]*[c,d]上可积，且对每个ye[c,d],积分, f(x, y)dx存在，则累次积分"dy" f(x,y)dx也存在, 且[[ f(x,y)da =[" dyf, f(x, y)dxD特别当f(x,y)在矩形区域D[a,b]x[c,d]上连续时，则有[J f(x, y)do = I" dx" f(x, y)dy= f' dyf, f(x, y)dxD例1计算[[(x+y)’do,其中D =[0,1]×[0,1]D解：应用定理21.8（或21.9），有业
定理21、9设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]*[c,d]上可积，且对每个 = = = b a d c d c b a D b a d c D b a d c b a f x y d dx f x y dy dy f x y dx f x y D a b c d f x y d dy f x y dx y c d f x y dx dy f x y dx ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) [ , ] [ , ] ( , ) ( , ) [ , ], ( , ) ( , ) 特别当 在矩形区域 上连续时，则有 也存在，且 积分 存在，则累次积分 2 1 ) , [0 1] [0 1] 21.8 21.9 D x y d D + = 例 计算（ 其中 ， ，。 解：应用定理 （或 ），有