几点注释1定义中的s相当于数列极限中的N它与ε 有关，但不是唯一确定r2定义中只考虑在x。空心邻域内有定义的情形，一般不考虑函数在 x.有无定义3以上的定义可以用邻域的形式简单给出
几点注释 N 0 x 0 x 1 定义中的 相当于数列极限中的 ， 它与 有关，但不是唯一确定。 2 定义中只考虑在 空心邻域内有定义的 情形，一般不考虑函数在 有无定义。 3 以上的定义可以用邻域的形式简单给出
3.单侧极限：例如,yx<01-x,J=1-x设 f(x)=x2+1, x ≥ 0V=x+1证明lim f(x) = 1.1x-00x分x>0和x<0两种情况分别讨论x从左侧无限趋近x，记作x→x。-0;x从右侧无限趋近x，记作x→x+0;
例如, lim ( ) 1. 1, 0 1 , 0 ( ) 0 2 = + − = → f x x x x x f x x 证明 设 分x 0和x 0两种情况分别讨论 , x从左侧无限趋近x0 0; 记作x → x0 − , x从右侧无限趋近x0 0; 记作x → x0 + y o x 1 y = 1 − x 1 2 y = x + 3.单侧极限:
左极限V>0,3>0,使当x。-<x<x,时,恒有,f(x)-A <8记作 lim f(x)=A 或 f(x,-0)=A.x→x-0(x→x)右极限>0,3>0,使当x<x<x+8时,恒有f(x)-A<8.记作 lim f(x)= A 或 f(x +0)= A.x→xo +0(x-→xt)注意:(x0 < x-xo|<8)=(x0<x-x,<8)U(x-8<x-x, <0)
左极限 ( ) . 0, 0, , 0 0 − − f x A x x x 恒有 使当 时 右极限 ( ) . 0, 0, , 0 0 − + f x A x x x 恒有 使当 时 { 0 } { 0} :{ 0 } 0 0 0 = − − − − x x x x x x x x x 注 意 lim ( ) ( 0) . 0 ( ) 0 0 0 f x A f x A x x x x = − = → − → − 记作 或 lim ( ) ( 0) . 0 ( ) 0 0 0 f x A f x A x x x x = + = → + → + 记作 或
定理：: limf(x)=A台f(x-0)=f(x,+0)=A.x-xox不存在。验证 lim例6x→0 xx证Xlimlimx→-0x-→-0xx lim (-1) = -1x0x-0xxlim 1 = 1limJimx→+0x→+0 xx+0 x: lim f(x) 不存在左右极限存在但不相等x-→0
: lim ( ) ( 0) ( 0) . 0 0 0 f x A f x f x A x x = − = + = → 定理 lim . 0 验证 不存在 x x x→ y x 1 − 1 o x x x x x x − = →−0 →−0 lim lim 左右极限存在但不相等, lim ( ) . 0 f x 不存在 x→ 例6 证 lim ( 1) 1 0 = − = − x→− x x x x x 0 x 0 lim lim →+ + = lim 1 1 0 = = x→+
2例7证明 lim x2 = 4.x-→2证 : |f(x)- A| =x2 -4=|x-2|x+2),限制 1<x<3, : |x- 2|x+2 <5x-2,任给ε>0,，要使 |f(x)-A=x2-4<8只需 5x-2<8, 取=,当0<x-xo<时,5'.. lim x2 = 4有[f(x)-A=x2-4<8成立,x-→2
例 7 lim 4 . 2 2 = → x x 证明 证 ( ) 4 2 f x − A = x − 任给 0 , , 5 取 = 0 , 当 x − x 0 时 ( ) 4 2 有 f x − A = x − 成立 , lim 4 2 2 = → x x = x − 2 x + 2 , 限制 1 x 3 , x − 2 x + 2 5 x − 2 , ( ) − = − 4 2 要使 f x A x 只需 5 x − 2