《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第二十一章 重积分 第三节 格林公式曲线积分与路线的无关

第三节格林公式.曲线积分与路线的无关性一格林公式aP(1)aJ()do = d, Pdx + QdyaxoyD这里L为区域D的边界曲线并取正方向。公式（1）称为格林公式（I）若区域D既是x形区域又是y形区域，即平行于坐标轴的直

一 格林公式 ( ) L D Q P d Pdx Qdy x y    − = +     (1) 这里L为区域D的边界曲线,并取正方向。 公式（1）称为格林公式 （I）若区域D既是x形区域又是y形区域，即平行于坐标轴的直 第三节 格林公式.曲线积分与路线的无关 性

线和L至多两点，这时区域可表示为LP2(x)Bpy()αP()X0ba图21-10图21-11P(x)≤y≤P,(x),a≤x≤by(y)≤x≤y2(y),α≤x≤β

L 图21-10 a b   o 1 x  ( ) x 2  ( ) x 1  ( ) y 2  ( ) y 图21-11 1 2   ( ) ( ), x y x a x b     线和L至多两点，这时区域可表示为D 1 2     ( ) ( ), y x y x    

这里y=(x)和y=β2(x)分别为曲线ACB和AEB的方程而x =,(y),x =,(y)则分别是曲线CAE和CBE的方程.于是aQdo =rP2(y)BJdydxaxOxαPr(y)D= Q(g,(y), y)dy - T Q(q(y), y)dyJcBr Q(x,y)dy -Jca, Q(x, y)dyCBE

1 2 ( ), ( ) CAE BE . 而x y x y C = =   则分别是曲线 和 的方程 于是 1 2 这里y x y x ACB = =   ( ) ( ) AEB 和 分别为曲线 和 的方程      =   ( ) ( ) 2 1 y y D dx x Q d dy x Q      2 1 ( ( ), ) ( ( ), ) ( , ) ( , ) CBE CAE Q y y dy Q y y dy Q x y dy Q x y dy         = − = −    

= [c, Q(x, y)dy +[ra. Q(x, y)dyCBEEA=,0(x, y)dy同理可以证得aPo do = f, Pdx + QdyayD将上述结果相加即得aPaQJ)do = [, Pdx + QdyOxoyD

  = +   − L D d Pdx Qdy y P  同理可以证得 ( , ) ( , ) ( , ) CBE EAC L Q x y dy Q x y dy Q x y dy = +   =    将上述结果相加即得   = +   −   L D d Pdx Qdy y P x Q ( ) 

(ii)若区域D是又按段光滑的封闭曲线围成，如图21-12所示先几段光滑曲线D将分成有限个既是x型又是y型的子区域D、D、D, , 于是aap小)doayaxDapapaqaQ小)do)do +.axoyOxdyDiD2apaQ()doaxay

(ii)若区域D是又按段光滑的封闭曲线围成，如图21-12所示。 先几段光滑曲线D将分成有限个既是x型又是y型的子区域 D D D 1 2 3 、 、 ，于是 d y P x Q D ( )   −       d y P x Q d y P x Q d y P x Q D D D ( ) ( ) ( ) 3 1 2   −   +   −   +   −   =   