沈阳师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第7章 线性变换 7.4 特征值与特征向量

（6）矩阵的特征子空间←1）矩阵的特征子空间的定义：设入o是矩阵A的特征值，则Va。=（αECnAα=入oα是C"的子空间，将V，。称为矩阵A的（属于特征值入的）特征子空间.2）矩阵的特征子空间V，的求法由1）知Va。就是齐次线性方程组(Λ.E一A)X=0的解空间，因此只需求得线性方程组(E-A)X=0的一个基础解系n,nk(k=n-r(aE-A))，那么Va。=L(n1,"",nk).-

87.4特征值与特征向量第七章线性变换特征值、特征向量的计算设(EL()在基&1,&2，,下的矩阵命题：1.A= (aj)nxn )则 = Xii+ X2&2 + ... + X, 是的属于特征值入的特征向量的充要条件是0X10X2(或|2E-A=0）(E-A)有非零解00

二、 特征值、特征向量的计算 1. 命题 : 设A (∈L(V))在基ε1 ,ε2 , ···,εn 下的矩阵 A= (aij)n×n , 则 ξ= x1 ε1+ x2 ε2 + ··· + xn εn 是A 的属于特征值λ的特征向量的充要条件是 1 2 n x 0 x 0 ( E A) E A 0 0 x 0           − = =                 有非零解 （或 - ） 第七章 线性变换 §7.4 特征值与特征向量

《入是/的特征值的充要条件是f()=0》对命题的证明分析：，即是的特征值（E一A）(aE-A)X=0有非零解←E-A|=O，即f(a)=0以上讨论说明，线性变换的特征值均为（2)的根，设入是的特征值，即f(α)=[αE一A|=0→)如上齐次线性方程组(2E一A)X=0的非零解均为&的属于特征值入的特征向量一→给出如下课题的思路：

对命题《λ是A 的特征值的充要条件是fA (λ) = 0 》 的证明分析: 1 n A x 0 ( E A) x 0 E A X 0 E A 0 f 0.           − =                 =  − = = 是 的特征值 ，即 ( - ) 有非零解 ，即 ( ) A ⚫ 以上讨论说明，线性变换A 的特征值均为fA (λ)的 根，设λ0是的特征值，即fA (λ0 ) = |λ0 E－A| = 0 → 如上齐次线性方程组 (λ0E－A)X=0 的非零解均为A 的 属于特征值λ0 的特征向量 → 给出如下课题的思路：

S7.4特征值与特征向量第七章线性变换该命题说明，2是否为α的特征值，(+0）是否为&的属于入的特征向量，关键在于12E一A/是否等于0，故有必要研究多项式2E一AI的特性一→促使引入一下概念：2. 定义5AEPn×n，入是文字，矩阵2E一A/的行列式[a-a-a-a2r2-a22-a21nE-A=2-aadn2nnn称为矩阵A的特征多项式，记为fA（2）。★ fA(2) = [2E - A/ EP[x], 0 fA(2) = n .★入为的特征值的充要条件是()=0

 该命题说明，λ是否为A 的特征值，ξ(≠0) 是否为A 的属 于λ的特征向量，关键在于 |λE－A| 是否等于0，故有必要研 究多项式 |λE－A| 的特性 → 促使引入一下概念： 称为矩阵A的特征多项式，记为 fA (λ) .  fA (λ) = |λE－A| ∈P[x], ∂ fA (λ) = n .  λ为A 的特征值的充要条件是fA (λ) = 0 . 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn a a a a a a E A a a a     − − − − − − − = − − − 第七章 线性变换 §7.4 特征值与特征向量 2. 定义5 A∈Pn×n , λ是文字，矩阵 |λE－A| 的行列式

S7.4特征值与特征向量第七章线性变换矩阵的特征多项式的系数在a12d11in-α2 1 1 - α22a2n[ME -A| =Λ - ann![-an1- an2 ".的展开式中，有一项是主对角线上元素的连乘积(a - a11)(a - a22) (a - ann)

第七章 线性变换 §7.4 特征值与特征向量 矩阵的特征多项式的系数. 在 𝜆𝐸 − 𝐴 = 𝜆 − 𝑎11 − 𝑎12 ⋯ − 𝑎1𝑛 −𝑎2 1 𝜆 − 𝑎22 ⋯ − 𝑎2𝑛 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ −𝑎𝑛1 − 𝑎𝑛2 ⋯ 𝜆 − 𝑎𝑛𝑛 . 的展开式中，有一项是主对角线上元素的连乘积 (𝜆 − 𝑎11)(𝜆 − 𝑎22) ⋯ (𝜆 − 𝑎𝑛𝑛)