非线性物理：孤波物理 ·再考虑u和v分别是下面的Burgers?方程和热传导方程的解： 山，+uu=Bx'Y,=Bya ·为正的常数，则下面的一阶微分方程组为B变换： V=-uv/2B y,=(u2-2uv/4B 所以B变换是联系方程两个解的微分方程。功利一些说，如果知 道一个方程的一个解及其B变换，我们可以搞定另外一个解。 这种变换在能够轻易看出一个平庸解的情况下非常有用，因为这 样就可以利用B变换求解另外一个可能很难得到的解
非线性物理：孤波物理 • 再考虑 u 和 v 分别是下面的Burgers方程和热传导方程的解： • 为正的常数，则下面的一阶微分方程组为B变换： • 所以B变换是联系方程两个解的微分方程。功利一些说，如果知 道一个方程的一个解及其B变换，我们可以搞定另外一个解。 • 这种变换在能够轻易看出一个平庸解的情况下非常有用，因为这 样就可以利用B变换求解另外一个可能很难得到的解
非线性物理：孤波物理 ·当然，这种捷径不是那么好看到的，因为对一个方程而言B变换 也不是容易得到的宝贝。Sine-Gordon方程： uen sinu ·显而易见，一个平庸解是=O,利用其B变换得到： Ou L =2入sin 05 2 入≠O,real const. Ou u an 2 各自积分得到：
非线性物理：孤波物理 • 当然，这种捷径不是那么好看到的，因为对一个方程而言B变换 也不是容易得到的宝贝。Sine-Gordon方程： • 显而易见，一个平庸解是v=0，利用其B变换得到： • 各自积分得到：
非线性物理：孤波物理 In[tan(u/4)月=元5+f(n) In[tan(u/4)]=n/2+g() ·f)和g(自分别为针对5和n的积分常数。为了自洽，可以猜出 tan(u/4)的一般形式： tan(u/4)=exp(ag+n/+c) u(5,n)=4tan[exp(5+n/元+c】 ·这个可了不得，它就是sine-Gordon方程的孤子解，真是得来全不 费工夫
非线性物理：孤波物理 • f()和g()分别为针对 和 的积分常数。为了自洽，可以猜出 tan(u/4)的一般形式： • 这个可了不得，它就是sine-Gordon方程的孤子解，真是得来全不 费工夫
非线性物理：孤波物理 关于孤波方程的求解还有微扰方法和数值差分计算方法，限于时 间不再一一介绍，但这些工作依然是目前孤波理论研究的前沿， 同学们可以阅读相关文献
非线性物理：孤波物理 • 关于孤波方程的求解还有微扰方法和数值差分计算方法，限于时 间不再一一介绍，但这些工作依然是目前孤波理论研究的前沿， 同学们可以阅读相关文献
非线性物理：孤波物理 KV方程的守恒律： 我们已经折腾了足够的数学，现在希望稍微物理一点。 ·讨论了这么多KV方程，她有什么值得物理学家爱慕的呢？ 有的，因为守恒规律存在于KV方程之中！看到这，物理学家应 该会发疯或者发愤的，虽然只是一字之差。 ·其实就是将孤波看成准粒子啊！ 假定p,)是流体密度，v,)是沿x方向的速度，质量演化满足： ap a(pv)=0 pw→c0nst.ifx→0 8t Ox
非线性物理：孤波物理 KdV方程的守恒律： • 我们已经折腾了足够的数学，现在希望稍微物理一点。 • 讨论了这么多KdV方程，她有什么值得物理学家爱慕的呢？ • 有的，因为守恒规律存在于KdV方程之中！看到这，物理学家应 该会发疯或者发愤的，虽然只是一字之差。 • 其实就是将孤波看成准粒子啊！ • 假定(x,t)是流体密度，v(x,t)是沿 x方向的速度，质量演化满足：