南京大学：《非线性物理学》课程电子教案（课件讲稿）非线性物理基础知识——相空间1/2

非线性物理：基础知识一一相空间 单摆问题： ·无阻尼单摆例子，哈密顿H为： H=K+V=2/2+0 cosx,p=-0H/0q,q=0H /op x angle &@o=int rinsic frequency,p=x,q=x 0 ·无阻尼单摆例子，运动方程为： 8=x %,=0→+isinx=0 mg

非线性物理：基础知识－－相空间 基础知识－－相空间 单摆问题： • 无阻尼单摆例子，哈密顿H为： x angle & int rinsic frequency, p x,q x H K V x / 2 cos x, p H / q, q H / p 0 2 0 2                     • 无阻尼单摆例子，运动方程为： 0 x sin x 0 t H 2    0       = x

非线性物理：基础知识一一相空间 ·平衡位置： x。=0,x。=nπ(n=0,±1，±2，) 系统势能在一个固定范围内交替变化： V(x)=-0)C0sx→ Vmn=-oi,e=nπ(n≥0) 'na=o,x。=nπ(n≤0)

非线性物理：基础知识－－相空间 基础知识－－相空间 • 平衡位置： • 系统势能在一个固定范围内交替变化： x 0, x n ( n 0, 1, 2,...) e  e                  V , x n ( n 0 ) V , x n ( n 0 ) V( x ) cos x e 2 max 0 e 2 2 min 0 0     

非线性物理：基础知识一一相空间 '(r) ·势能曲线： H>0 H=O品 H<w号 -5 10*t ·系统在H=o,2处出现分界： x。=-nπ(n≥l,x。=0 2/2=0pcosx+0b x=±20c0s(x/2) for t=0,x=0 x=4 arctan(eo')-π

非线性物理：基础知识－－相空间 基础知识－－相空间 • 势能曲线： • 系统在 H=02 处出现分界：                   x 4arctan(e ) for t 0, x 0 x 2 cos( x / 2 ) x / 2 cos x x n ( n 1), x 0 t 0 2 0 2 0 2 e e 0   

非线性物理：基础知识一一相空间 分界线将系统动力学分成单摆与圆周运动两个区域：H<0,2时 来回摆动，H>0,时，圆周运动。 ·摆动初始位置x→π，摆动周期越长，除非给定初速：o

非线性物理：基础知识－－相空间 基础知识－－相空间 • 分界线将系统动力学分成单摆与圆周运动两个区域： H<02 时 来回摆动， H>02 时，圆周运动。 • 摆动初始位置 x0，摆动周期越长，除非给定初速：H>02

非线性物理：基础知识一一相空间 ·相空间相图： 0 日分界线 (a) 双曲点 0=±元 椭圆点 0轴 0=0 (b) 0 十π

非线性物理：基础知识－－相空间 基础知识－－相空间 • 相空间相图：