非线性物理：分形物理 标度对称性：分数维布朗运动 标度对称性是分形体重要的性质，它反映了分形结构的多尺度性 和自相似性。通过一些熟悉的物理过程还可分析此标度对称性。 ·从随机布朗运动开始。分子平均位移方差和自相关系数： (x）x1 Rfx)=≤小x1+z> =e7 <x2(t)> · R(是指数函数，T为特征时间。R(的傅立叶变换就是布朗运动 的功率谱S0: Sf)=DR(r小edrf-
非线性物理：分形物理 标度对称性：分数维布朗运动 • 标度对称性是分形体重要的性质，它反映了分形结构的多尺度性 和自相似性。通过一些熟悉的物理过程还可分析此标度对称性。 • 从随机布朗运动开始。分子平均位移方差和自相关系数： • R()是指数函数，T为特征时间。R()的傅立叶变换就是布朗运动 的功率谱 S(f)：
非线性物理：分形物理 。 S0属于噪声宽带谱，所以布朗运动也是褐色噪声。 如果有一噪声信号x,其傅立叶变换为x(f),则： )=」if小ed 2π ·功率谱S)就是其变换系数模的平方： S(f)=(f)a f- ·对布朗运动，指数2。上式微分一次得： (if )d dt 2π
非线性物理：分形物理 • S(f)属于噪声宽带谱，所以布朗运动也是褐色噪声。 • 如果有一噪声信号 x(t)，其傅立叶变换为 ，则： • 功率谱 S(f)就是其变换系数模的平方： • 对布朗运动，指数 =2。上式微分一次得：
非线性物理：分形物理 对应的功率谱S0满足： Sfe=旅fxf?=f 对另外一类布朗运动，S0~f”,即白噪声，它可以产生于布朗运 动微分。一般噪声的功率谱指数B∈0,2引。 S(f】 ◆褐色噪声（或11f2噪声） 白噪声 w.e w (c)褐色噪声 (a)白噪声
非线性物理：分形物理 • 对应的功率谱 S(f)满足： • 对另外一类布朗运动，S(f)~f 0，即白噪声，它可以产生于布朗运 动微分。一般噪声的功率谱指数 [0, 2]
非线性物理：分形物理 ◆S(f) 41f噪声 产p g (b)1f噪声 ·如果我们将布朗运动普遍化，这就是分数维布朗运动： <x2(1)>a12a ·标度指数1/2对应普通布朗运动。注意到量纲等价条件： f.S(f)=f·fB=12a=f2a B=2a+1
非线性物理：分形物理 • 如果我们将布朗运动普遍化，这就是分数维布朗运动： • 标度指数 =1/2对应普通布朗运动。注意到量纲等价条件：
非线性物理：分形物理 。 任意随机信号也可以表示为： x(t)octa x(t) in statistical sense x(At 28 上式证明很简单，但是表示了将原有信号的自变量t改变入倍， 则对应的振幅也要改变入倍，则信号彼此在统计上没有差别。 这就是标度不变性和自相似性
非线性物理：分形物理 • 任意随机信号也可以表示为： • 上式证明很简单，但是表示了将原有信号的自变量 t 改变 倍， 则对应的振幅也要改变 - 倍，则信号彼此在统计上没有差别。 这就是标度不变性和自相似性