第二章数列极限习题2.1实数系的连续性1．（1）证明/6不是有理数；(2）V3+V2是不是有理数？证（1)反证法。若/6是有理数，则可写成既约分数/6=㎡。由m2=6n2，n可知m是偶数，设m=2k，于是有3n2=2k2，从而得到n是偶数，这与㎡是既约分数矛盾。n（2）3+/2不是有理数。若V/3+/2是有理数，则可写成既约分数V3+2="，于是3+2/6+2=，，V6=-号，即/6是有理数，与h22n2-2n（1）的结论矛盾。2.求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在：A=(x|x≥0);2元B=sinx0<xm,neN*并且n<mm解minA=0；因为VxEA，有x+leA，x+1>x，所以maxA不存在。maxB=sin=l;因为VxeB，3αeo,，使得x=sinα，于是有2sineB，sin%<x，所以minB不存在。229
第二章 数列极限 习 题 2.1 实数系的连续性 1. (1) 证明 6不是有理数； (2) 3 + 2 是不是有理数? 证（1）反证法。若 6 是有理数，则可写成既约分数 n m 6 = 。由 ， 可知 是偶数，设 ，于是有 ，从而得到 是偶数，这与 2 2 m = 6n m m = 2k 2 2 3n = 2k n n m 是既约分数矛盾。 （2） 3 + 2 不是有理数。若 3 + 2 是有理数，则可写成既约分数 3 2 + n m = ，于是 2 2 3 2 6 2 n m + + = ， 2 5 2 6 2 2 = − n m ，即 6 是有理数，与 （1）的结论矛盾。 2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在： A x = { | x ≥ 0}； ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = < < 3 2 sin | 0 π B x x ； ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ∈ < + m n n m m n C , N 并且 。 解 min A = 0；因为∀x ∈ A，有 x +1∈ A， x +1 > x，所以max A不存在。 1 2 max = sin = π B ；因为∀x ∈ B ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛ ∃ ∈ 2 0, π α ，使得 x = sinα ，于是有 ∈ B 2 sin α ， < x 2 sin α ，所以min B不存在。 9
n+1maxC与minC都不存在，因为v"eC，有nEC,ECm+1m+1m"<"<"，所以maxC与minC都不存在。m+1mm+i3.A,B是两个有界集，证明：(1）AUB是有界集；(2)S=(x+ylxeA,yeB)也是有界集。证（1）设VxeA，有≤M，VxeB，有叫≤M2，则VxeAUB，有[|≤max(M,M2)。(2设VxA，有≤M，VxeB，有≤M,则VxeS，有≤M,+M2。4.设数集s有上界，则数集T=(x/-xeS)有下界，且supS=-infT。证设数集S的上确界为supS，则对任意xeT=xl-xeS)，有-x≤supS，即x≥-supS；同时对任意>0，存在yeS，使得y>supS-，于是-yeT，且-y<-supS+。所以-sups为集合T的下确界，即infT=-supS。5.证明有界数集的上、下确界唯一。证设supS既等于A，又等于B，且A<B。取ε=B=4>0，因为B为2集合S的上确界，所以存在xeS，使得x>B-6>A，这与A为集合S的上确界矛盾，所以A=B，即有界数集的上确界唯一。同理可证有界数集的下确界唯一。6.对任何非空数集S，必有sups≥infS。当supS=infs时，数集s有什么特点？解对于任意的xeS，有infS<x≤supS，所以supS≥infS。当supS=infS时，数集s是由一个实数构成的集合。10
maxC 与minC 都不存在，因为 C m n ∀ ∈ ，有 C m n ∈ +1 ， C m n ∈ + + 1 1 ， 1 1 1 + + < < + m n m n m n ，所以maxC 与minC 都不存在。 3. A, B是两个有界集，证明： (1) A∪ B 是有界集； (2) S x = + { | y x ∈ A, y ∈ B}也是有界集。 证 （1）设∀x ∈ A，有 M1 x ≤ ，∀x ∈ B ，有 M2 x ≤ ，则∀x ∈ A∪ B，有 { } 1 2 x ≤ max M , M 。 （2）设∀x ∈ A，有 M1 x ≤ ，∀x ∈ B ，有 M2 x ≤ ，则∀x ∈ S ，有 M1 M2 x ≤ + 。 4. 设数集S 有上界，则数集T x = { | − x ∈S}有下界，且supS =− inf T 。 证 设数集 S 的上确界为 sup S ，则对任意 x ∈ T x = { | − ∈x S} ，有 − x ≤ sup S ，即 x ≥ −sup S ；同时对任意ε > 0，存在 y ∈ S ，使得 y > sup S − ε ， 于是 − y ∈T ，且 − y < −sup S + ε 。所以 − sup S 为集合T 的下确界，即 inf T = −sup S 。 5. 证明有界数集的上、下确界唯一。 证 设sup S 既等于 A，又等于B ，且 A < B。取 0 2 > − = B A ε ，因为B 为 集合S 的上确界，所以存在 x ∈ S ，使得 x > B − ε > A，这与 A为集合 的 上确界矛盾，所以 S A = B ，即有界数集的上确界唯一。同理可证有界 数集的下确界唯一。 6. 对任何非空数集S ，必有sup S ≥inf S 。当sup S =inf S 时，数集S 有什 么特点? 解 对于任意的 x ∈ S ， 有 inf S ≤ x ≤ sup S ，所以 sup S ≥ inf S 。 当 sup S =inf S 时，数集S 是由一个实数构成的集合。 10
7.证明非空有下界的数集必有下确界。证参考定理2.1.1的证明。8.设S=(刚xEQ并且x2<3)，证明：(1）S没有最大数与最小数；(2）S在Q内没有上确界与下确界。证(1)IeS，>0,<2。取有理数r>0充分小，1Ppp使得r2+4r<3-{2)，于是.2+2r2+4r<3+P即+reS，所以s没有最大数。同理可证s没有最小数。0(2）反证法。设s在Q内有上确界，记supS="（m,neN+且m,n互7质），则显然有0<"<2。由于有理数平方不能等于3，所以只有两种m可能：<3，由(1)可知存在充分小的有理数r>0，使得("+r）<3,这说明+reS，与supS=矛盾；2>3，取有理数r>0充分小，使得4r-r2<(ii)-3，于是m-r+r>(≤)n-r-4r+r2>3，这说明-r也是s的上mmm界，与supS=n矛盾。所以s没有上确界。m同理可证s没有下确界。11
7. 证明非空有下界的数集必有下确界。 证 参考定理2.1.1的证明。 8. 设S { | 3} 2 = x x ∈Q并且x < ，证明： (1) S 没有最大数与最小数； (2) S 在Q内没有上确界与下确界。 证 （1） S p q ∀ ∈ ， > 0 p q ，则 3 2 < ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ p q ， < 2 p q 。取有理数 充分小， 使得 r > 0 2 2 4 3 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + < − p q r r ，于是 + + < ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + r p q r p q r p q 2 2 2 2 4 3 2 2 + + < ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ r r p q ， 即 r S p q + ∈ ，所以S 没有最大数。同理可证S 没有最小数。 （2）反证法。设 S 在Q内有上确界，记 m n sup S = （ 且 互 质），则显然有 + m, n ∈ N m, n 0 < < 2 m n 。由于有理数平方不能等于3，所以只有两种 可能： （i） 3 2 ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ m n ，由（1）可知存在充分小的有理数r > 0，使得 3 2 ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + r m n ， 这说明 r S m n + ∈ ，与 m n sup S = 矛盾； （ii） 3 2 ⎟ > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ m n ，取有理数 r > 0 充分小，使得 4 3 2 2 ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − < m n r r ，于是 ⎟ − + > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 2 2 r r m n m n r m n 4 3 2 2 ⎟ − + > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ r r m n ，这说明 r m n − 也是 的上 界，与 S m n sup S = 矛盾。所以S 没有上确界。 同理可证S 没有下确界。 11
习题2.2数列极限1.按定义证明下列数列是无穷小量：(n+1)(1)(2) ((-1)"(0.99)");[n?+1]1+2+3+...+n(3)(4)n3n(5)(6)(7)(8)n+22nJn+1nn+12当n>N时，成立0<证（1)V(0<6<2)，取N<6[8]n+1nlg6当n>N时，成立(2) V(0<<1)，取N[Ig0.99Ige[(-1)(0.99)"|<(0.99) g0.99，当n>N时，成立！<号；取N=(3) V(0<<2),取N=En266当n>N,时，成立5"<；则当n>N=max(N,N,)时，成立！+5-6-2(4) (0<<1),取N=当n>N时，成立n+110<1+2++nn32n?nn?6nn?有（5）当n>11时，于是>0，2'C33"(1+2)" 8(n-1)(n-2)h2国取 N = max|11,当n>N时，成立0<634n12
习 题 2.2 数列极限 1. 按定义证明下列数列是无穷小量： ⑴ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + 1 1 2 n n ； ⑵ {( ) −1 0 n n ( .99) }； ⑶ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + −n n 5 1 ； ⑷ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + + 3 1 2 3 n " n ； ⑸ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n 3 2 ； ⑹ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ! 3 n n ； ⑺ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n n! ； ⑻ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + − + + + − n n n n n 2 1 ( 1) 2 1 1 1 1 " 。 证 （1）∀ε (0 < ε < 2)，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 2 N ，当n > N 时，成立 < < ε + + < n n n 2 1 1 0 2 。 （2）∀ε (0 < ε < 1) ，取 lg lg 0.99 N ⎡ ε ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ，当n > N 时，成立 lg lg0.99 ( 1) (0.99) (0.99) n n ε − < = ε 。 （3）∀ε (0 < ε < 2)，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 2 N1 ，当n > N1时，成立 2 1 ε < n ；取 2 5 2 N log ε ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦， 当n > N2 时，成立5−n 2 ε < ；则当n > N = max{N1,N2 }时，成立 1 5 n n ε − + < 。 （4）∀ε (0 < ε < 1) ，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N ，当n > N 时，成立 < < ε + = + + + < n n n n n 1 2 1 2 1 0 3 2 " 。 （5）当n > 11时，有 2 2 2 n 3 3 3 (1 2) 2 n n n n n C = < + n n n n 1 8( 1)( 2) 6 < − − = 。于是∀ε > 0， 取 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N max 11, ，当n > N 时，成立 < < < ε n n n 1 3 0 2 。 12
有3"、35当n>5，(6)。于是(0<3)，取512[])n-513″当n>N时，成立0<3N=5+<612n!18元]1的整数部分为m，则有n记"(7)(0<<1)，取22nnNlg-1> lge,+4.当n>N时，有m>于是成立N=2I吃2B）n!On11-（8）首先有不等式0<-1)"V(0<<1) n+22nn+1nn1111取N当n>N时，成立0<+(-1)"n+2n+12n1n62.按定义证明下述极限：2n2-12Vn?+n(1) lim(2) lim=1;m3n+2=3;nn>001(4) lim %/3n +2 =1;(3) lim (n2 +n -n)=n+Vnn是偶数，(5）lim x,=1,其中xn1-10-"n是奇数，1当n>N时，成立证（1）V>0，取N=[]72n2-12160n?3n2+233(3n2 + 2)(2)Vs>0,取N当n>N时，成立2613
（6）当n > 5，有 5 5 5 2 1 3 2 1 5! 3 ! 3 − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ < ⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ⋅ n n n n 。于是∀ε (0 < ε < 3)，取 lg 3 5 1 lg 2 N ⎡ ⎤ ε ⎢ ⎥ = + ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎥，当n > N 时，成立 ⎟ < ε ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < < ⋅ −5 2 1 3 ! 3 0 n n n 。 （ 7 ） 记 2 n 的整数部分为 m ，则有 m n n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < 2 ! 1 。 ∀ε (0 < ε < 1) ， 取 lg 2 4 1 lg 2 N ε ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ，当n > N 时，有 lg 1 2 1 lg 2 N m ε > − > ，于是成立 ⎟ < ε ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < < m n n n 2 ! 1 0 。 （8）首先有不等式 n n n n n n 1 2 1 ( 1) 2 1 1 1 1 0 − + − < + + + < − " 。∀ε (0 < ε < 1) ， 取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N ，当n > N 时，成立 − + − < < ε + + + < − n n n n n n 1 2 1 ( 1) 2 1 1 1 1 0 " 。 2. 按定义证明下述极限： ⑴ limn→∞ 2 1 3 2 2 3 2 2 n n − + = ； ⑵ limn→∞ n n n 2 1 + = ； ⑶ limn→∞ ( ) n n n 2 1 2 + − = ； ⑷ limn→∞ 3 2 n n + = 1； ⑸ limn→∞ xn =1,其中 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + = − ， ， 是奇数 是偶数 n n n n n x n n 1 10 , , 。 证 （1）∀ε > 0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N ，当n > N 时，成立 < < ε + − = + − 2 2 2 2 1 3(3 2) 7 3 2 3 2 2 1 n n n n 。 （2）∀ε > 0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2ε 1 N ，当n > N 时，成立 13