第三章函数极限与连续函数习题3.1函数极限1.按函数极限的定义证明：(1) lim x3 =8;(2) lim Vx = 2;x+11x-1 =1(3) lim(4) lim22;(→02x-1x→3x+1(6) lim e-*=0;(5) limlnx =-00;2x(7) lim(8) lim+00;-8x-→2+ x2 - 400x+1证（1）先取x-2<1，则1<x<3，x3-8=(x2+2x+4)(x-2)<19x-2，于是对任意的s>0，取=minl1,>0，当0<x-2<8时，成立19x3-8<19x-2<8，所以lim x3=8。（2）首先函数的定义域为x≥0，且x-2=x-4，于是/x+2对任意的ε>0，取=min(4,2)>0，当0<x-4<时，成立Vx-2x-4<8，所以lim Vx=2。（3）先取x-3<1，则2x<4，--=x-3，于是对任x+12-2(x+1)意的ε>0，取=min(1,6s)>0，当0<x-3<时，成立---3<6，所以x+1 2lim-1243 x +133x+1 1（4）先取>1，则2x-≥风，于是对任意2x-12-22x-1*2当>X时，成立13的>0，取X=max(1二]>0，<62x-1~2|~22g所以x+1_1lim2x-1234
第三章 函数极限与连续函数 习 题 3.1 函数极限 1. 按函数极限的定义证明： ⑴ lim x→2 x 3 ＝8； ⑵ lim x→4 x = 2； ⑶ lim x→3 x x − + 1 1 ＝ 1 2 ； ⑷ lim x→∞ x x + − 1 2 1 = 1 2 ； ⑸ lim ln x x → +0 = − ∞； ⑹ lim x→+∞ e− x ＝0； ⑺ lim x→ +2 2 4 2 x x − = +∞； ⑻ lim x→−∞ x x 2 +1 = −∞。 证 （1）先取 x − 2 < 1，则1 < x < 3， 8 ( 2 4)( 2) 19 2 3 2 x − = x + x + x − < x − ， 于是对任意的ε > 0，取 0 19 min 1, > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ε δ ，当0 < x − 2 < δ 时，成立 − 8 < 19 − 2 < ε 3 x x ，所以 lim x→2 x 3 ＝8。 （2）首先函数 x 的定义域为 x ≥ 0，且 4 2 1 2 4 2 ≤ − + − − = x x x x ，于是 对任意的 ε > 0 ， 取 δ = min{4,2ε} > 0 ， 当 0 < x − 4 < δ 时，成立 − ≤ − 4 < ε 2 1 x 2 x ，所以 lim x→4 x = 2。 （3）先取 x − 3 < 1，则2 < x < 4， 2( 1) 3 2 1 1 1 + − − = + − x x x x 3 6 1 < x − ，于是对任 意 的 ε > 0 ， 取 δ = min{1,6ε}> 0 ， 当 0 < x − 3 < δ 时，成立 2 1 1 1 − + − x x < − 3 < ε 6 1 x ，所以 lim x→3 x x − + 1 1 ＝ 1 2 。 （4）先取 x > 1，则 2x −1 ≥ x ， 2 1 2 1 1 − − + x x 2 2 1 3 − = x 2 x 3 ≤ ，于是对任意 的ε > 0，取 0 2 3 max 1, > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ε X ，当 x > X 时，成立 2 1 2 1 1 − − + x x ≤ < ε 2 x 3 ， 所以 lim x→∞ x x + − 1 2 1 = 1 2 。 34
（5）对任意的G>0，取=e-G>0，当0<x<时，成立lnx<-G，所以lim lnx=-o0。x→04(6)对任意的0<<1,取X=ln-1>0,当x>X时,成立0<e-x<elnc=6,S所以lim e*=0。T2x(7）先取0<x-2<1，则2<x<3,>1，于是对任意的G>0，取x+22x1112x当0<x-2<8时，成立=min1>G x2 -4(x+2)(x-2)x-2G所以2xlim=+800X-2+ x2 - 4（8）先取x<-1，则×>1，于是对任意的G>0，取X=max(l,G),x+I当x<-X时，成立兰<x<-G，所以x+1x2lim8-00 x + 12.求下列函数极限：x?-1x2-1() 2x-x-1(2) lim2x2-x-13x5-5x3+2x(1+2x)(1+ 3x)-1(3) lim(4) limxx-x3+3xx-→0x-→0(1+ x)" -1(1 + mx)" -(1+ nx)m(5) lim(6) limx2-0xT-2sinx-sina(7) lim(8) limx-aI-01-coSxx-→acosx-cos3xtan x-sin x(9) lim(10) limxr2x3-0x→0解x?-12x+1(1) lim= limx-1 2x-x-1 x-1 2x+13x2 -11(2)lim2x2-x-1=2°X→003x5-5x3+2x2-5x2+3x4_2(3)limlimx5-x3+3x33- x2 + x4x→0X->0(1+ 5x +6x2)-1(1+ 2x)(1+ 3x) -1(4)limlim=5.X0xx-0x35
（5）对任意的G > 0，取δ = e−G > 0，当0 < x < δ 时，成立 ，所 以 ln x < −G lim ln x x → +0 = −∞。 （6）对任意的0 < ε < 1，取 0 1 = ln > ε X ，当 时，成立 ， 所以 x > X ε ε < < = − ln 0 e e x lim x→+∞ e− x ＝0。 （7）先取0 < x − 2 < 1，则2 < x < 3， 1 2 2 > x + x ，于是对任意的G > 0，取 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = G 1 δ min 1, ，当0 < x − 2 < δ 时，成立 G x x x x x x > − > + − = − 2 1 ( 2)( 2) 2 4 2 2 ， 所以 lim x→ +2 2 4 2 x x − = +∞。 （8）先取 x < −1，则 1 1 > x + x ，于是对任意的 ，取 ， 当 时，成立 G > 0 X = max{1,G} x < −X x G x x < < − +1 2 ，所以 lim x→−∞ x x 2 +1 = − ∞。 2. 求下列函数极限： ⑴ lim x→1 x x x 2 2 1 2 1 − − − ； ⑵ lim x→∞ x x x 2 2 1 2 1 − − − ； ⑶ lim x→0 3 5 2 3 5 3 5 3 x x x x x − + − + x ； ⑷ lim x→0 ( ) 1 2 + x x (1+ 3 ) −1 x ； ⑸ lim x→0 ( ) 1 1 + − x x n ； ⑹ lim x→0 ( ) 1 1( ) 2 + − mx + nx x n m ； ⑺ lim x a → sin x a sin x a − − ； ⑻ lim x→0 x x 2 1− cos ； ⑼ lim x→0 cos x x cos x − 3 2 ； ⑽ lim x→0 3 tan sin x x − x 。 解 （1）lim x→1 x x x 2 2 1 2 1 − − − 1 lim → = x = + + 2 1 1 x x 3 2 。 （2）lim x→∞ = − − − 2 1 1 2 2 x x x 2 1 。 （3）lim x→0 3 5 2 3 5 3 5 3 x x x 0 lim → = x x x x − + − + = − + − + 2 4 2 4 3 2 5 3 x x x x 3 2 。 （4）lim x→0 = + + − x (1 2x)(1 3x) 1 lim x→0 = + + − x (1 5x 6x ) 1 2 5。 35
C,x+C2x?+...+x"(1+x)" -1(5)limlim=n。x→0-0xx(1+mx)" -(1+ nx)m(6)limx2x-→0(1+nmx+C,m?x?+...+m"x")-(1+mnx+C2n?x?+...+n"x")= limx2x->01-nm(n-m)。2x+ax-a2cossinsinx-sina22(7)lim= lim=cosa。x-ax-ax-→ax-a2t(8)lim= lim2。10X-→01-cosxx2sin2coSx-cos3x2sin4xsin2x(9)lim=lim4x?x2X→01-→02sinxsin2tanx-sinx-(10)lim= limPlox3r→0xcosxx->03.利用夹逼法求极限：1(1) lim x(2) lim x。-→0:→1n.n当有-解（1）Vx>0，由lim-=1，可知x<n+1n+1n-0n+1n[11n+1n+11。Vx<0，当-。由lim有≤xlim<x≤11<n+1x-0+nnxn->00n由此得到可知lim=l。x->0-xlim x-1x→0Lx111(2）当n≤x<n+1,有nmi<x<(n+1)"。由limnn+i=1与lim(n+1)"=1,nn>00得到1lim xx =1。x-→+o4利用夹逼法证明：xk=0(1)lim(a>1，k为任意正整数);x-o arIn* x(k为任意正整数）。(2)=0limxX→+36
（5）lim x→0 = + − x x n (1 ) 1 lim x→0 = + + + x C x C x x n n 1 n 2 2 " n。 （6）lim x→0 2 (1 ) (1 ) x mx nx n m + − + 0 lim → = x 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) x nmx C m x m x mnx C n x n x m m m n n + + n +"+ − + + +"+ ( ) 2 1 = nm n − m 。 （7）lim x a → = − − x a sin x sin a lim x a → x a x a x a − + − 2 sin 2 2cos = cosa。 （8）lim x→0 = − x x 1 cos 2 lim x→0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2sin2 2 x x 2。 （9）lim x→0 = − 2 cos cos3 x x x lim x→0 = 2 2sin 4 sin 2 x x x 4。 （10）lim x→0 = − 3 tan sin x x x lim x→0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x x x x cos 2 2sin sin 3 2 2 1 。 3. 利用夹逼法求极限： ⑴ limx→0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 1 ； ⑵ limx→+∞ x x 1 。 解（1）∀x > 0，当 n x n 1 1 1 < ≤ + ，有 1 1 1 ≤⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ < + x x n n 。由 1 1 lim = →∞ n + n n ，可知 →0+ lim x 1 1 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 。∀x < 0，当 1 1 1 + − < ≤ − n x n ，有 n n x x 1 1 1 + <⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ≤ 。由 1 1 lim = + →∞ n n n ， 可知 →0− lim x 1 1 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 。由此得到 0 lim x→ 1 1 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 。 （2）当n ≤ x < n +1，有 n x n n x n 1 1 1 1 < < ( +1) + 。由n→∞ lim 1 1 1 = n+ n 与n→∞ lim ( 1) 1 1 + = n n ， 得到 limx→+∞ 1 1 = x x 。 4. 利用夹逼法证明： (1) limx→+∞ x k a x = 0 (a＞1，k 为任意正整数)； (2) limx→+∞ lnk x x = 0 (k 为任意正整数)。 36
xk, ([x] +1)k(n+1)k由 lim解（1）首先有0<=0即得到ql]ata"n-→00t=0。lim+ a*Ink xtk且当x→+时，有t→+。再利用（1）(2）令lnx=t，let+的结论，即得到In*x=0。limx5.讨论单侧极限：10<x≤1,2x在x=0,1,2三点；(1) f(x)=r1<x<2.2x2<x<3,12 +1在x=0点；(2) f(x)2.1(3) Dirichlet 函数[1，x为有理数，在任意点；D (x) =0.x为无理数，(4) f(x) :在x=(n=1,2,3,.. )。nX1解(1) lim f(x)=+o0, lim f(x)=, lim f(x)=1, lim f(x)=4, lim f(x)=4。2X>0+X→1+x-→2(2)lim f(x)=-1, lim f(x)=1。（3）D(x)在任意点无单侧极限。(4) lim (x)=0, lim f(x)=1。X-x)2n6.说明下列函数极限的情况：sinx(1)lim(2)lime'sinx;x1lim /1+(3)(4) 1limxasin-+→+o(6)lim(5)道limsinx=0。解（1)limx-x(2)lime"sinx极限不存在，所以limesinx极限不lim e"sinx=0,X-→-00-存在。37
解（1）首先有 [ ] ([ ] 1) 0 x k x k a x a x + < < ，由 0 ( 1) lim = + →∞ n k n a n 即得到 limx→+∞ x a k x = 0。 （2）令ln x = t，则 t k k e t x x = ln ，且当 x → +∞时，有t → +∞。再利用（1） 的结论，即得到 limx→+∞ lnk x x = 0。 5. 讨论单侧极限： (1) f (x) = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < < < < < ≤ 2 2 3, , 1 2, , 0 1, 2 1 2 x x x x x x 在 x = 0,1,2 三点； (2) f (x) = 2 2 1 1 1 x x + − 1 ， 在 x = 0 点； (3) Dirichlet 函数 D (x) = 在任意点； ⎩ ⎨ ⎧ 0, , 1, , 为无理数 为有理数 x x (4) f (x) = x 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − x 1 , 在 x = 1 n （n = 1 2, ,3,"）。 解（1） = +∞ → + lim ( ) 0 f x x ， 2 1 lim ( ) 1 = → − f x x ，lim ( ) 1 1 = → + f x x ，lim ( ) 4 2 = → − f x x ，lim ( ) 4。 2 = → + f x x （2） lim ( ) 1 0 = − → − f x x ， lim ( ) 1 0 = → + f x x 。 （3）D(x)在任意点无单侧极限。 （4） lim ( ) 0 1 = → − f x n x ， lim ( ) 1 1 = → + f x n x 。 6. 说明下列函数极限的情况： (1) limx→∞ sin x x ; (2) limx→∞ e sin x x ; (3) limx→+∞ x x α sin 1 ; (4) limx→∞ 2 1 1 x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ; (5) limx→∞ x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 ; (6) limx→ +0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − x x 1 1 。 解（1）limx→∞ = x sin x 0。 （2） ， x→−∞ lim e sin x = 0 x x→+∞ lim e sin x x 极限不存在，所以limx→∞ e sin x x 极限不 存在。 37
foα<1(3)lim xasin-α=1。X-→+00xα>1=0，所以lim(4)极限不存limimQX-toX在。(5)lim+(-[)=0, μ([]-2一，则 lim(6）取x=1n+2及限不存在。所以lim7.设函数2+exsinxf(x):[ x |ltex问当x→0时，f(x)的极限是否存在？12+exsinx解由于limf(x)=lim=0+1=1xx-0Y12+exsinx2-1=1，所以lim f(x)= lim41X0-X-→0-x1+ex12+exsinxlim f(x) = lim4[x|x->0→(Itex8.设limf(x）=A（a≥0)，证明：limf(x2）=A证设limf(x)=A（a≥0)，则>0，s>0，x(0<x-a<8)，有o>0，则当0<x-a<8时，首先有If(x)-Al<8。取3=min1+2/a]x+a<1+2a，于是02-al=x+Va)(x-Va)<8，从而[f(x2)-Al<6，这就说明了lim f(x2)=A。9.（1)设lim f(x3）=A，证明：lim f(x)=A。38
（3） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ∞ > = < = →+∞ 1 1 1 0 1 1 lim sin α α α α x x x 。 （4） x→+∞ lim ⎟ = +∞ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 x x ， x→−∞ lim 0 1 1 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + x x ，所以limx→∞ 2 1 1 x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 极限不存 在。 （5）limx→∞ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + x x 2 1 1 1。 （6）取 n xn ' 1 = ， 2 1 " 1 + = n xn ，则n→∞ lim 0 1 1 ' ' =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − n n x x ，n→∞ lim 2 1 1 1 " " =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − n n x x ， 所以 limx→ +0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − x x 1 1 极限不存在。 7．设函数 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = | | sin 1 2 ( ) 4 1 x x e e f x x x 。 问当 x → 0时， f (x)的极限是否存在？ 解 由于 = → + lim ( ) 0 f x x 0 1 1 sin 1 2 lim 4 1 1 0 = + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + → + x x e e x x x ， = → − lim ( ) 0 f x x 2 1 1 sin 1 2 lim 4 1 0 = − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + → − x x e e x x x ，所以 1 | | sin 1 2 lim ( ) lim 4 1 0 0 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = → → x x e e f x x x x x 。 8. 设lim = A（a≥0），证明： x a → f (x) lim x a → f x( ) 2 = A 。 证 设lim = A（a≥0），则 x a → f x( ) ∀ε > 0，∃δ '> 0，∀x(0 < x − a < δ ')，有 f (x) − A < ε 。取 0 1 2 ' min 1, > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + = a δ δ ，则当 0 < x − a < δ 时，首先有 x + a < 1+ 2 a ，于是 < x − a 2 0 = (x + a)(x − a) < δ ' ，从而 f (x ) − A < ε 2 ，这就说明了 lim x a → f x( ) 2 = A 。 9. (1) 设 = A，证明： = A 。 0 lim x→ ( ) 3 f x 0 lim x→ f (x) 38