习题3.3无穷小量与无穷大量的阶1.确定α与α，使下列各无穷小量或无穷大量等价于(～)ax：(1)u(x)= x-3x* +2x3, (x→0, x-→00);(2) u(x)= +2x3r (-0, x-8);(3) u(x)= /x + /x2 (x→0+, x-→+);(4) u(x)= x+/x+/x (x→0+, x→+0);(5)u(x)= /1+3x - /1+2x (x-0, x-→+o0);(6) u(x) = /x2 +1 - x (x-→++00):(7) u(x)= VP+x - 最 (x-0+);(8) u(x)= /1+x/x - e2x (x→0+);(9) u(x) = In cos x - arc tan x2 (x-→0);(10)u(x)= /1+tan x - /1-sinx (x→0)。解 (1) u(x)～2x3 (x→0); u(x)～x (x→0)。(2) u(x) ～-2x-'(x→0); u(x)~}3*(x →0) 。23(3) u(x)~x3 (x→0+); u(x)~x2 (x→+0)。(4) u(x) ~x8 (x→0+); u(x) ~x2 (x→+00)。(5) u(x)～三xx(x→0); u(x)~/3x2 (x→+00)。6=x (x→+00)。(6) u(x) ~21(7) u(x)～x2 (x→0+)。(8) u(x)～-2x(x→0+)。47
习 题 3.3 无穷小量与无穷大量的阶 1. 确定 a 与α，使下列各无穷小量或无穷大量等价于(～) a xα ： (1) u(x) = x x x 5 4 − 3 + 2 3 , (x→0，x→∞)； (2) u(x) = x x x x 5 2 4 2 3 + − 3 (x→0，x→∞)； (3) u(x) = x 3 + x 3 2 (x→0+，x→+∞)； (4) u(x) = x + +x x (x→0+，x→+∞)； (5) u(x) = 1+ 3x - 1 2 3 + x (x→0，x→+∞)； (6) u(x) = x 2 + 1 - x (x→+∞)； (7) u(x) = 3 x + x - 3 2 x (x→0+)； (8) u(x) = 1+ x x - e2x (x→0+)； (9) u(x) = ln cos x - arc tan x 2 (x→0)； (10) u(x) = 1+ tan x - 1− sin x (x→0)。 解（1）u(x) ～2x 3 (x → 0)；u(x) ～ x 5 (x → ∞)。 （2）u(x) ～− 2x−1 (x → 0)；u(x) ～ ( ) 3 1 x x → ∞ 。 （3）u(x) ～ ( 0 ) 3 2 x x → + ；u(x) ～ ( ) 2 3 x x → +∞ 。 （4）u(x) ～ ( 0 ) 8 1 x x → + ；u(x) ～ ( ) 2 1 x x → +∞ 。 （5）u(x) ～ ( 0) 6 5 x x → ；u(x) ～ 3 ( ) 2 1 x x → +∞ 。 （6）u(x) ～ ( ) 2 1 1 → +∞ − x x 。 （7）u(x) ～ ( 0 ) 2 1 x x → + 。 （8）u(x) ～− 2x (x → 0+)。 47
2x (x→0)。(9) u(x) ~2(10) u(x)~x(x→0)。2.（1）当x→+时，下列变量都是无穷大量，将它们从低阶到高阶进行排列，并说明理由。a(a>1), x,xa(α>0),In*x (k>0),[x]!;(2）当x→0+时，下列变量都是无穷小量，将它们从高阶到低阶进行排列，并说明理由。 (a≥1), () ((≥0)。xa (α>0),a4解（1）当x→+时，从低阶无穷大量到高阶无穷大量的排列为In*x (k>0),xα(α>0),a (a>1),[x]!,x。q"+!ax(n + 1)axa[x]!(n+1)!证明：设n≤x<n+1,则o<00a"[x]!n!arXYn"ql(n+1)a(n + 1)!x由 lim0与lim=0,即得到limlim：00a"n"n->00n!n->007>00aIn* xyka[x]!=0，同时也得到lim0,limlim1im0(y=lnx)。n-→00 [x]!n->00xxay-+o (ea)"（2）当x→0+时，从高阶无穷小量到低阶无穷小量的排列为(k>0)。(a>1),xα (α>0)，ln-kx1，则当x→0+时，有y→+。参考（1）的排列即可得证明：令V=X到（2）的排列。3.计算下列极限：48
（9）u(x) ～ ( 0) 2 − 3 x 2 x → 。 （10）u(x) ～ x (x → 0)。 2. (1) 当 x→+∞时，下列变量都是无穷大量，将它们从低阶到高阶进 行排列，并说明理由。 a x (a＞1), x x , xα (α＞0)， lnk x (k＞0)， [x]!； (2) 当 x→0+时，下列变量都是无穷小量，将它们从高阶到低阶进 行排列，并说明理由。 xα (α＞0)， ! 1 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x , a x − 1 (a＞1)， x x 1 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ − ⎛ x k 1 ln (k＞0)。 解（1）当 x→+∞时，从低阶无穷大量到高阶无穷大量的排列为 lnk x (k＞0)， xα (α＞0)，a (a＞1), [x]!, x x x 。 证明：设n ≤ x < n +1，则 x n a n a xα α ( 1) 0 + < < ， [ ]! ! 0 1 n a x a x n+ < < ， x n n n x [x]! ( 1)! 0 + < < 。 由 n→∞ lim 0 ( 1) = + n a n α ， n→∞ lim 0 ! 1 = + n an 与 n→∞ lim 0 ( 1)! = + n n n ，即得到 x x a xα →+∞ lim = 0， n→∞ lim 0 [ ]! = x a x ，n→∞ lim 0 [ ]! = x x x ，同时也得到 α x x k x ln lim →+∞ 0 ( ) = lim = →+∞ y k y e y α ( y = ln x)。 （2）当 x→0+时，从高阶无穷小量到低阶无穷小量的排列为 x x 1 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ , ! 1 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x , a x − 1 (a＞1)， xα (α＞0)， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ − ⎛ x k 1 ln (k＞0)。 证明：令 x y 1 = ，则当 x→0+时，有 y → +∞。参考（1）的排列即可得 到（2）的排列。 3. 计算下列极限： 48
/1+x-3/1+2x21-Vcosx(1) lim(2) limx-0 1-cosxIn(1 + 3x)x->0(4) lim (V1+x+x - V1-x+x);x+/x+/x-x);(3)lim (21xa-aaar-a(6) lim(5) lim(a>0);(a>0);x-αx-ax→ax-→aInx-Ina(7) lim x(In (1+x) - In x);(a>0);(8) limx-a0-(9) lim (x+e*)*;(10) limcos(11) limn(/x-1) (x>0);(12) lim n2(/x - "/x) (x>0)。V1+ x3/1+ 2x2(/1+x -1)-(/1+2x2 -1)解（1）lim= lim-0In(1 + 3 x)20In(1 + 3x)2?1=lmt-13x6x>0121Vcosx1-cosx(2)=0。limlimlimx→0 101-cos/x-→0(1-cos /x)(1+cosx)x(1+/cosx)2Vx+VxVx1(3)lim(x+/x+/x-/x)=limlim2/"2°X-→+00Vx+Vx+Vx+x2x(4) lim (/1+x+x2 -/1-x+x?)=lim=1.r/1+x+x2+/=x+xα-αaa"(ar-α--1)a"(x-α)lna(5)limlimlim=aIna。x-αx→ax-αx-ax-αx-aalnza~αln(1+aexda"(ea-l)(6)limlimlimx-a→ax-ax→ax-ax-aa'αa= lim=aadx-→ax-a1In(1 +(7)lim x (ln (1+x) - ln x )= lim1x49
⑴ lim x→0 1 1 2 1 3 3 2 + − + + x x ln( x) ； ⑵ lim x→0 1 1 − − cos cos x x ； ⑶ lim x→+∞ ( xxx + + - x )； ⑷ lim x→+∞ ( 1 2 + + x x - 1 2 − + x x )； ⑸ limx→ α a a x x − − α α (a＞0)； ⑹ limx a → x a x a α α − − (a＞0)； ⑺ lim x→+∞ x ( ln (1+x) - ln x )； ⑻ limx a → ln x ln x a − a − (a＞0)； ⑼ lim x→0 ( e x ) x x + 1 ； ⑽ lim x→0 2 1 2 2 cos x x x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ； ⑾ lim n→∞ n ( x n - 1) (x＞0)； ⑿ lim n→∞ n 2 ( x n - x n+1 ) (x＞0)。 解（1）lim x→0 = + + − + ln(1 3 ) 1 1 2 3 2 x x x lim x→0 ln(1 3 ) ( 1 1) ( 1 2 1) 3 2 x x x + + − − + − 0 lim → = x = − x x x 3 3 2 2 1 2 6 1 。 （2）lim x→0 = − − x x 1 cos 1 cos lim x→0 = − + − (1 cos )(1 cos ) 1 cos x x x lim x→0 = (1+ cos ) 2 1 2 1 2 x x x 0。 （3） lim ( x→+∞ xxx + + - x ) →+∞ = x lim = + + + + x x x x x x lim x→+∞ = x x 2 2 1 。 （4） lim ( x→+∞ 1 2 + + x x - 2 1− x + x ) →+∞ = x lim = + + + − + 2 2 1 1 2 x x x x x 1。 （5）x→α lim = − − α α x a a x x→α lim = − − − α α α x a a x ( 1) x→α lim a x( )ln a x α α α − = − a lna α 。 （6）limx a → = − − x a x a α α limx a → = − − x a a e a x ( 1) α ln α limx a → x a a x a a − − α ln(1+ ) α x→a = lim = − − ⋅ x a a x a a αα α−1 αa 。 （7） lim x ( ln (1+x) - ln x ) x→+∞ = + = →+∞ x x x 1 ) 1 ln(1 lim 1。 49
XaIn(1 +Inx-Ina1a(8)limlimx-ax→axax-aa---(9)lim(x+e*)*=lim(1+x+e-1)x=lim(1+2x)x=e3-→0x→01→(1)2)(10）= limlim= lim 1-(1-cosx)cos.x22x->0x->0X-(Linx(11) limn("/x- 1)= limn(en-1)= lim(n.-lnx)= Inx 。n->o0n-00n-nx-Inx（12)limn2("/x-"t/x）=limn2- 1) -(en+l(en1n→00n-→00limn~InxInx=n-→00(nn+50
（8）limx a → ln x a ln x a − − limx a → = − − + x a a x a ln(1 ) a 1 。 （9）limx→0 + = x x x 1 ( e ) limx→0 + + − = x x x 1 (1 e 1) limx→0 + = x x 1 (1 2 ) 2 e 。 （10）limx→0 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 2 2 cos x x x limx→0 2 1 2 2 1 (1 cos ) x x x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 0 lim → = x ( ) − = 2 1 2 1 x x −1 e 。 （11）lim n ( n→∞ x n - 1) lim ( 1) ln 1 = − →∞ x n n n e = ⋅ = →∞ ln ) 1 lim( x n n n ln x 。 （12）lim ( n→∞ n 2 x n - x n+1 ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − + →∞ lim ( 1) ( 1) ln 1 1 ln 1 2 x n x n n n e e =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − →∞ 1 1 1 lim ln 2 n n n x n ln x 。 50
习题3.4闭区间上的连续函数1.证明：设函数f(x)在[a,+o)上连续，且lim(x）=A（有限数），则f(x)在[a,+o)有界。证由limf(x）=A（有限数），可知X>a，Vx>X：f(x)-A<l，即A-1<f(x)<A+1。再由f(x)在闭区间[a,X)上的连续性，可知f(x)在[a,X]上有界，即Vxe[a,X]：|f(x)]<B。令M=max(B,A+1)，m=min(-B,A-1)，则Vxe[a,+oo)，成立m<f(x)<M。2.证明：若函数f()在开区间(a,b)上连续，且a+)和(b-)存在，则它可取到介于凡a+)和(b-)之间的一切中间值。证令f(x)xe(a,b)(x)=f(a+)x=a[(b- x=b则7(x)在闭区间[a,b]连续，不妨设f(a+)<f(b-)，由闭区间上连续函数的中间值定理，可知(x)在闭区间[a,b]上可取到[f(a+),f(b-)]上的一切值，于是f(x)在开区间(a,b)上可取到介于(a+)和(b-)之间的一切中间值。3.证明：若闭区间[a,b]上的单调有界函数f(x)能取到(a)和(b)之间的一切值，则f(x)是[a,b]上的连续函数。证采用反证法。不妨设f(x)单调增加。若e(a,b)是(x)的不连续点，则f(-)与f(5+)都存在，且 f(a)≤f(-)<f(E+)≤f(b)，于是f(α)取不到开区间(f(-),f(+)中异于f()的值，与条件矛盾；若x=a是f(x)的51
习 题 3.4 闭区间上的连续函数 1. 证明：设函数 f x( ) 在[a,+∞)上连续，且 = A（有限数），则 在 有界。 limx→+∞ f x( ) f x( ) [a,+∞) 证 由 lim = A（有限数），可知 x→+∞ f x( ) ∃X > a ，∀x > X ： f (x) − A < 1，即 A −1 < f (x) < A +1。再由 在闭区间 上的连续性，可知 在 上有界，即 ： f (x) [a, X ] f (x) [a, X ] ∀x ∈[a, X ] f (x) < B 。 令 M = max{B, A +1} ， m = min{−B, A −1}，则∀x ∈[a,+∞)，成立m < f (x) < M 。 2. 证明：若函数 在开区间 上连续，且 f(a+)和 f(b-)存在，则 它可取到介于 f(a+)和 f(b-)之间的一切中间值。 f x( ) (a,b) 证 令 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = + = ∈ = f b x b f a x a f x x a b f x ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ~ ， 则 ( ) ~ f x 在闭区间[a,b]连续，不妨设 f (a+) < f (b−)，由闭区间上连续函 数的中间值定理，可知 ( ) ~ f x 在闭区间 上可取到 上的 一切值，于是 在开区间 上可取到介于 f(a+)和 f(b-)之间的一 切中间值。 [a,b] [ f (a+), f (b−)] f x( ) (a,b) 3. 证明：若闭区间 上的单调有界函数 能取到 f(a)和 f(b)之间 的一切值，则 是 上的连续函数。 [a,b] f x( ) f x( ) [a,b] 证 采用反证法。不妨设 f (x)单调增加。若ξ ∈ (a,b)是 的不连续点， 则 f (x) f (ξ −)与 f (ξ +)都存在，且 f (a) ≤ f (ξ −) < f (ξ +) ≤ f (b)，于是 取不 到开区间 f (x) ( f (ξ −), f (ξ +))中异于 f (ξ )的值，与条件矛盾；若 x = a是 f (x)的 51