代入。由于与式是用x=1代入，而第二个公式是用x=！与x=，23923955比「小得多，因此第二个公式的通项（或余项）比第一个公式的通项（或余项）趋于零的速度快得多，所以用第二个公式计算元的近似值效果更好。5.利用Taylor公式求近似值（精确到10-4）：(2) /e;(1) lgl11;(3) sin31°;(5) /250 ;(6) (1.1)12,(4) cos89°;二(-1)-1xk解（1) 1g(10+x)=In(10+x)(+)=1+r,(x),In10k10*In10In1010(-1)"x+!共中 ,()-~0+- 位于 与%之间。1011得到/r(1)k0.89×10%,由r()=(In 10)10**(n+1)(1+5)/(ln10)10+(n+1)满足精度要求，所以11111Ig11=1+=1.04139。4·104In10102·1023.103es(2) et=1其中r(x)=x*+r(x),，位于0与x之间。(n+1)!k=ok!113-今~0.27×10~，满足精度要求，所以r5/35111e=1+1+1.39561。32.96.2724-811元元元(")x +r(x),(3) sin(+ x)= sin(sin(+coSOIx62666x3s(+5)，5位于0与x之间。其中r(x)=cos(3!6125
式是用 x =1代入，而第二个公式是用 1 5 x = 与 1 239 x = 代入。由于 1 5 与 1 239 比 1小得多，因此第二个公式的通项（或余项）比第一个公式的通项 （或余项）趋于零的速度快得多，所以用第二个公式计算 的近似值 效果更好。 π ⒌ 利用 Taylor 公式求近似值（精确到10−4）： ⑴ lg11; ⑵ e 3 ; ⑶ sin o 31 ; ⑷ cos o 89 ; ⑸ 250 5 ; ⑹ ( . ) . 11 1 2 . 解（1） ln(10 ) 1 lg(10 ) 1 ln(1 ) ln10 ln10 10 x x x + + = = + + 1 1 1 ( 1) 1 ( ln10 10 n k k k n k x r x k − = − = + ∑ + )， 其中 1 1 ( 1) ( ) (ln10)10 ( 1)(1 ) n n n n n x r x n ξ + + + − = + + 1 ，ξ 位于0 与 10 x 之间。 由 1 1 1 1 1 | (1) | (ln10)10 ( 1)(1 ) (ln10)10 ( 1) nr n n n n n ξ + + + = < + + + ，得到 ， 满足精度要求，所以 6 4 | ( r 1) | 0.89 10− < × 2 3 4 1 1 1 1 1 lg11 1 ( ) 1.04139 ln10 10 2 10 3 10 4 10 ≈ + − + − ≈ ⋅ ⋅ ⋅ 。 （2） 0 1 ( ) ! n x k n k e x r = k = ∑ + x ，其中 1 ( ) ( 1)! n n e r x x n ξ + = + ，ξ 位于0 与 x之间。 令 1 3 x = ， n = 4 ， 1 3 5 4 5 1 | ( ) | 0.27 10 3 5!3 e r − ≤ ≈ × ，满足精度要求，所以 3 1 1 1 1 1 1.39561 3 2 9 6 27 24 81 e ≈ + + + + ≈ ⋅ ⋅ ⋅ 。 （3） 2 2 1 sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) ( ) 6 6 6 2 6 x x x r x π π π π + = + − + ， 其中 3 2 ( ) cos( ) 3! 6 x r x π = − +ξ ，ξ 位于0 与 x之间。 125
23下31180~0.88×10~，满足精度要求，所以由于15180sin()0.51504 。元元sin31° = sin("+元元= sin(+cos180618026~18066x3(4）sinx=x+r(x)，其中r(x)=cos，位于o与x之间。3!由于1s(元)K10~，满足精度要求，所以80元cos89° = sinI = sin()~0.01745。180180413(1+(5) f(x)=3(1+x)3x2)+r(x) ,25.2518其中r(x)=x3，位于0与x之间。125(1+) 57187）3~0.34×10-5，满足精度要求，所以由于/r(24312524374.7277)3=2505~3(1+=3(1 +)~3.01708。2435.24325.2.2433243+12.02_12-0.2.08+ +(x),(6) f(x)=(1+x)"-2 =1+1.2x+62其中5()=12020818，号位于0与x之间。24(1 +)2.8由于1s(0.1)下0.0144(0.1)*=0.144×10-5，满足精度要求，所以(0.1) (1.1)* +12 0.1+12;020., 1202 080. 17.266.利用函数的Taylor公式求极限：er sinx-x(1+x)α"+α-*_2(1) lim(2) lim(a>0);x3x2r-→0x→0+(4) lim(/x5 + x4 _ 5/x - x*);(3) lim126
由于 3 6 2 3 | ( ) | 0.88 10 180 3!180 r π π − ≤ ≈ × ，满足精度要求，所以 1 2 sin 31 sin( ) sin( ) cos( ) sin( )( ) 0.51504 6 180 6 6 180 2 6 180 π π π π π π π = + = + − ≈ D 。 （4） 2 sin x = +x r (x) ，其中 3 2 ( ) cos 3! x r x = − ξ ，ξ 位于0 与 x之间。 由于 5 2 | ( ) | 10 180 r π − ≤ ，满足精度要求，所以 cos89 sin1 sin( ) 180 π = = D D 0.01745 180 π ≈ ≈ 。 （5） 1 5 2 2 1 4 ( ) 3(1 ) 3(1 ) ( ) 5 25 2 f x x = + = + x − x + r ⋅ x ， 其中 3 2 14 5 18 ( ) 125(1 ) r x x ξ = + ，ξ 位于0 与 x之间。 由于 3 2 7 18 7 | ( )| ( ) 0.34 10 243 125 243 r −5 < ≈ × ，满足精度要求，所以 1 5 7 7 ( ) 3(1 ) 243 243 f = + 1 2 5 2 7 4 7 250 3(1 ) 3.01708 5 243 25 2 243 ⋅ = ≈ + − ≈ ⋅ ⋅ ⋅ 。 （6） 1.2 2 3 3 1.2 0.2 1.2 0.2 0.8 ( ) (1 ) 1 1.2 ( ) 2 6 f x x x x x r x ⋅ ⋅ ⋅ = + = + + − + ， 其中 4 3 2.8 1.2 0.2 0.8 1.8 ( ) 24(1 ) r x x ξ ⋅ ⋅ ⋅ = + ，ξ 位于0 与 x之间。 由于 4 3 | r (0.1) | 0.0144(0.1) 0.144 10−5 ≤ = × ，满足精度要求，所以 1.2 1.2 0 2 3 .2 1.2 0.2 0.8 (0.1) (1.1) 1 1.2 0.1 0.1 0.1 1.12117 2 6 f ⋅ ⋅ ⋅ = = + ⋅ + − ≈ 。 ⒍ 利用函数的 Taylor 公式求极限： ⑴ lim e sin ( ) x x x x x → x − + 0 3 1 ; ⑵ ( 0) 2 lim 2 0 > + − − → + a x a a x x x ; ⑶ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → x x x csc 1 lim 0 ; ⑷ lim ( ) x x x x x →+∞ + − − 5 5 4 5 5 4 ; 126