习题4.4复合函数求导法则及其应用1.求下列函数的导数：(1) y = (2x2 - x + 1) ;(2)y=e2x sin3x ;1Inx(3) y=+(4) y(5) y= sin x3;(6) y= cos /x ;(7) y= x +1- In(x +/x+1);(8) y= arcsin(e-);1(9) y= In(10) y=(2x2 + sin x)21+In2xx() y=(2) =x/1-x21+ cScx223(14) y= e-sin*x:(13)y=#/2x2-1+4/3x3+1x(15) y= xva? - x2 +Va2-2解 (1) y'= 2(2x2 - x+1)(2x2 -x+1)= 2(2x2 - x+1)(4x-1) 。(2)y'=e2(sin3x)+(e2*)'sin3x =e2*(3cos3x+2sin3x)。(3) y=-{(+x)(+x*)=-号x(1+x)()-()。1(x)17.3(4)y=2lln:(5)y'=cosx"(x)=3x2cosx"。(6) y=-sin V(V/x)=-sin2/x70
70 习 题 4.4 复合函数求导法则及其应用 ⒈ 求下列函数的导数： ⑴ y xx = −+ ( ) 2 1 2 2 ； ⑵ y x x = e sin 2 3 ； ⑶ y x = + 1 1 3 ； ⑷ y x x = ln ； ⑸ y x = sin 3； ⑹ y x = cos ； ⑺ yx xx = +− + + 1 1 ln( )； ⑻ y x = − arcsin (e ) 2 ； ⑼ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 2 2 1 ln x y x ； ⑽ y x x = + 1 2 2 2 ( sin ) ； ⑾ y x x x = + − 1 1 2 2 ln ； ⑿ y x x = 1+ 2 csc ； ⒀ y x x = − + + 2 2 1 3 3 1 3 2 4 3 ； ⒁ y x = − e sin2 ； ⒂ y xa x x a x = −+ − 2 2 2 2 . 解 （1） ' 2(2 1)(2 1)' 2(2 1)(4 1) 2 2 2 y = x − x + x − x + = x − x + x − 。 （2） ' (sin 3 )' ( )'sin 3 (3cos3 2sin 3 ) 2 2 2 y e x e x e x x x x x = + = + 。 （3） 2 3 2 3 2 3 3 3 (1 ) 2 3 (1 ) (1 )' 2 1 ' − − y = − + x + x = − x + x 。 （4） 2 1 2 ' 2 1 2 ln ln 1 ln 2 ln 1 ' ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ − ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x x x x x x x x y 。 （5） 3 3 2 3 y'= cos x (x )'= 3x cos x 。 （6） x x y x x 2 sin '= −sin ( )'= −
1+2/1+x(7) y'=1.(x+1)"(x+Vx+1)*12/x+1x+Vx+12/x+1 2/1+x(x+/1+x)x-1-Vi+x2/1+x(x+/1+x)(e-r")-2xe--2x(8)y':Vi-(e-r)2i-e-2rVe2x? -1(9) '=[n(+*-1)-In(x*}"= ("-1"-2-_ 2*+2x4-1xx(x4-1)(10) y'=-2(2x +sin"=-2(4x+ cos x)(2x +sin x)3(2x + sin x)3(11) y*= (I+In’x)x/l-x--{+In' x(xVl-x)x(1-x)= 2(1-x2)Inx-(1+ In2 x)(1- 2x2)x2(1-x3)(12) '="1+esex -x(/I+esex)1+cscx21 (-cotx cscx)-(2x)Vi+cscx?2Vi+cscx?1+cscx?1+csc x? + x csc x cot x?(1+cscx)23(13) v'=0'+3/2x2_-14/3x3 +1)(2x2 -1) (4x)+3(-)(3x +1)(9x)=2(-8x(2x -1)号_2x(3x*+1)。43(14) y'=e-sin**(-sin? x)'=-sin2x·e-sim71
71 （7） 1 ( 1)' ( 1)' ' 2 1 1 x xx y x xx + ++ =⋅ − + ++ = 1 1 21 2 1 21 ( 1 ) x x xx x + + − + + ++ = 1 1 21 ( 1 ) x x x x x −− + + + + 。 （8） 2 2 2 2 2 2 (e )' 2 e ' 1 (e ) 1 e x x x x x y − − − − − = = − − = 1 2 2 2 − − x e x 。 （9） 4 4 2 4 ( 1)' 1 ' [ln( 1) ln( ]' 2 1 x yx x x x − = −− = − − = 4 4 2 2 ( 1) x x x + − 。 （10） 2 2 3 2(2 sin )' ' (2 sin ) x x y x x − + = + = 2 3 (2 sin ) 2(4 cos ) x x x x + − + 。 （11） 2 22 2 2 2 (1 ln ) ' 1 (1 ln )( 1 )' ' (1 ) x x x xx x y x x + − −+ − = − = 2 3 2 2 2 2 2 (1 ) 2(1 )ln (1 ln )(1 2 ) x x x x x x − − − + − 。 （12） 2 2 2 ' 1 csc ( 1 csc )' ' 1 csc x xx x y x + −+ = + 2 2 2 2 2 1 ( cot csc ) (2 ) 1 csc 2 1 csc 1 csc x x x x x x x − ⋅ + −⋅⋅ + = + 22 2 2 3 2 2 1 csc csc cot (1 csc ) x xxx x + + = + 。 （13） 3 2 3 4 2 3 ' ( )' ( )' 21 31 y x x = + − + 4 5 2 32 3 4 1 1 2( )(2 1) (4 ) 3( )(3 1) (9 ) 3 4 x x xx − − = − − +− + 4 5 2 23 3 4 8 27 (2 1) (3 1) 3 4 xx x x − − =− − − + 。 （14） 2 sin 2 ' e ( sin )' x y x − = − 2 sin sin 2 x x e− =− ⋅
'- 2 -3x +1 x(a2 -x +1) (-)·(-2x)(15) y'=((a -x)+x)Ya?-x?(Va?-x)Ya? -x2x4-3a2x?+at +a?(a2-)2．求下列函数的导数：(1) y= Insinx;(2) y= In(cscx-cot x);Ja22-x2+aarcsin(3)y(4) y=ln(x+/x2+a2);(5) y=(x/x2-2-2 In(x+/x2-2)解（1）=(sinx)'=cotx。sinx(2) y"= (csc x-cotx)"_ -cot xcscx-(-cscx)cscxcscx-cotxcscx-cotx(3)x'Va2-x +x(Va?-x)+a'(arcsin11-2.2Na-x1-0a>0,(-2x)x2Va?-xXa<o.2Va.小-)Va?-r?2x(x+x+a?)2/x2+a21(4)yx2 +a?x+x2+a?x+x?+a?x-α+(-)-(+-)(5) y'=X+Vx21+Vx?-X*X+13．设f(x)可导，求下列函数的导数：72
72 （15） 2 2 2 2 ( ) ' ( )' x ax x y a x − + = − 2 2 2 2 2 2 2 23 1 ( 1) ( ) ( 2 ) 3 1 2 ( ) x ax x a x ax ax − + ⋅− ⋅− − + = + − − 4 22 4 2 3 2 2 2 2 3 ( ) x ax a a a x − ++ = − 。 ⒉ 求下列函数的导数： ⑴ y x = ln sin ； ⑵ y = ln(csc x − cot x)； ⑶ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + a x y x a x a arcsin 2 1 2 2 2 ； ⑷ y x xa =++ ln( ) 2 2 ； ⑸ y xx a a x x a = −− + − 1 2 22 2 22 ( ln( ) . 解 （1） 1 ' (sin ) ' cot sin y xx x = = 。 （2） (csc cot ) ' ' csc cot x x y x x − = = − 2 cot csc ( csc ) csc csc cot xx x x x x − −− = − 。 （3） 1 22 22 2 ' ' ( )' (arcsin )' 2 x y xa x xa x a a ⎛ ⎞ = −+ − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 22 2 22 2 1 1 1 (2) ( ) 2 2 1 x a axx a a x x a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = −+ + − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 , 0, , 0. ax a x a a x ⎧ − > ⎪ = ⎨ ⎪− < ⎩ − 。 （4） 2 2 2 2 ( )' ' x x a y x x a + + = + + 2 2 2 2 2 1 2 x x a x x a + + = + + 2 2 1 x a = + 。 （5） 2 2 22 22 2 2 2 1 ( )' ' [ ' ( )' ] 2 x xa y xx a xx a a x xa + − = −+ − − + − 2 2 22 2 22 22 1 1 2 x x x a xa x a x a x xa ⎡ ⎤ + ⎢ ⎥ ⎛ ⎞ − = − + −⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − +− ⎣ ⎦ = 2 2 x − a 。 ⒊ 设 f x( )可导，求下列函数的导数：
(1) f(/x);(3) f(x) ;(4) arctan f(x) ;(5) f(f(er") ;(6) sin(f(sin x);1T(8)f(f(x))2解（1)()=(F)=2xx 3f(x3)(2))-f'(x)-[f(x)]"=-(3) [f(x)}"=2/F(x)2/f(x)(4 ca o- r-1+ f2(x)(5) [f(f(er'=f'(f(erLf(er]'=f'(f(er)f'(erer)=2xe" f'(er)f'(f(e") (6) [sin (f(sin x)'= cos(f(sin x)(f(sin x)'= cos(f(sin x)f(sin x)(sin x)"=cos(f(sinx)f'(sinx)cosx。汀-")-(fr=- (8)ff(x))f(f(x))(f(f(x)24.用对数求导法求下列函数的导数：(2) y=(r3 + sin x)(1) y=x*;(3) y=cos*x;(4) y= In*(2x +1) ;73
73 ⑴ f x ( ) 3 2 ； ⑵ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x f ln 1 ； ⑶ f x( ) ； ⑷ arc tan f (x) ； ⑸ f fex ( ( )) 2 ； ⑹ sin ( (sin )) f x ； ⑺ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ( ) 1 f x f ； ⑻ 1 f fx ( ( )) . 解 （1） 3 33 2 22 f ( )' '( )( )' x fx x = = '( ) 3 2 3 2 3 1 x f x − 。 （2） 1 11 ' ln ln ln f f x x x ′ ′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = ) ln 1 '( ln 1 2 x f x x − 。 （3） 1 [ ( )]' [ ( )]' 2 () f x fx f x = = 2 ( ) '( ) f x f x 。 （4） 2 1 [arctan ( )]' [ ( )]' 1 [ ( )] f x fx f x = + = 1 ( ) '( ) 2 f x f x + 。 （5） 2 22 [ ( ( ))]' '( ( ))[ ( )]' x xx f fe f fe fe = 2 22 '( ( )) '( )( )' x xx = f fe f e e =2 '( ) '( ( )) 2 2 2 x x x xe f e f f e 。 （6）[sin ( (sin ))]' cos( (sin ))( (sin )) ' f x f xf x = = cos( (sin )) '(sin )(sin ) ' f xf x x =cos( f (sin x)) f '(sin x)cos x。 （7） 1 11 ' () () () f f f x fx fx ′ ′ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ( ) 1 ' ( ) '( ) 2 f x f f x f x 。 （8） 2 1 '( ( )) [ ( )]' ( ( )) ( ( )) f fx f x f fx f fx ′ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎝ ⎠ = ( )2 ( ( )) '( ( )) '( ) f f x f f x f x − 。 ⒋ 用对数求导法求下列函数的导数： ⑴ y x x = ； ⑵ y ( ) x x x 1 3 = + sin ； ⑶ y x x = cos ； ⑷ y x x = ln ( ) 2 1 + ；
Vi-x2(6)(5)V:x,);1+x3(7) y= sin xvr由于(lny)=兰，所以y'=y(lny)"。解y(1) Iny=xlnx,y'= y(ln y)'= y[x'lnx + x(lnx)]= (1I+lnx)x*。(2) Iny==in(r+sinx),() in(* +sin)+()n(+snx)y'= y(ln y)'= y[3x2 +cosx_ In( +sinx)=(x3+sinx)x2x(x3 +sinx)(3)Iny=xlncosx,y'= y(xlncosx)'=j[x'lncosx+x(lncosx)j=(lncosx-xtanx)cos*x 。(4) ln y=xlnln(2x+1),y'= y[x'ln In(2x + 1)+ x(ln ln(2x+1))2xIn*(2x+1) 。Inln(2x+1)+(2x +1)In(2x +1)(5) Iny=Inx+in(I-x)---In(1+x3) ;22I(n(1-x)-{(n(1+x)y"=y[(ln x)'+:23x2x/i-x2x1x22(1+ x3)V1+x3(6) ny=In(x-x),i=l74
74 ⑸ y x x x = − + 1 1 2 3 ； ⑹ y xxi i n = − = ∏( ) 1 ； ⑺ y x x = sin . 解 由于 ' (ln )' y y y = ，所以 yyy ' (ln )' = 。 （1）ln ln yxx = , ' (ln )' [ 'ln (ln )'] (1 ln ) x y y y yx x x x xx = = + =+ 。 （2） ( ) 1 3 ln ln sin y xx x = + ， ( ) ( ) 1 1 3 3 yyy y x x x x ' (ln )' ln sin ln sin ' x x ⎡ ⎤ ′ ⎛⎞ ⎛⎞ = = ++ + ⎢ ⎥ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎣ ⎦ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + + 2 3 3 2 1 3 ln( sin ) ( sin ) 3 cos ( sin ) x x x x x x x x x x x 。 （3）ln ln cos yx x = ， y yx x yx x x x ' ( ln cos ) ' [ 'ln cos (ln cos )'] = =+ =( x x x) x x ln cos − tan cos 。 （4）ln ln ln(2 1) yx x = + ， y yx x x x ' [ 'ln ln(2 1) (ln ln(2 1)) '] = ++ + = ln (2 1) (2 1)ln(2 1) 2 lnln(2 1) + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + x x x x x x 。 （5） 1 1 2 3 ln ln ln(1 ) ln(1 ) 2 2 yx x x = + −− + ， 1 1 2 3 ' [(ln )' (ln(1 ))' (ln(1 ))'] 2 2 yy x x x = + −− + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − − + − 2(1 ) 3 1 1 1 1 3 2 2 3 2 x x x x x x x x 。 （6） 1 ln ln( ) n i i y xx = = − ∑