(a 正向绕一 (®)反向绕一用， 墩扈 @ 图9 面的区域d={(,)0≤%≤v≤上就可作出如下连续的单位 向量函数a(u,)为 P· 当0<w<≤L时 a(u,v)= P或1 T'(u), 当6=v时 -T(0), 当6=0，v-L时 。31·
() 图10 令a(u,)(0≤a<2x)为x轴正向到a(u,)的夹角，则a(u,) 为定义在区域4上的函数，但它不-一定连续。但是我们可以证明 下列引理. 引理可利用x作出4上.的连续可微函数a(,),使得 a(w,)和x(u,)只相差2m的整数倍，即 a(,)≡a(w,)(mod2x) 因为引理的证明较长，我们将在最后证明这个引理.现在我 们欲利用此引理中所得到的连续可微蹈数α（仙，）去计算曲线的 旋转指标. 因为a(u,)是曲线O在u处的切向量T(),所以 a(6,w)=0(w) 的 2xi=9(z）-6o-6d0-∫da(线积分） 由于a是在区域4上的连续可微函数，所以 品（架）-品(》 因此对区域4应用Green公式后就可得到 jaw血-品(0》-是（-0 A ·32·
于是 2ai-fma-Jna+∫na =0, {=0,L (a) 6 图11 先来计算a.因为沿着0远，好=0,0从0变到L,所以 nma-jdao,叭 但a(0,)表示图11(a)中轴正向到00的夹角，当v从0变到 L时，相当于Q点从O点沿曲线方向旋转一周，因为掌()在上半 平面，O0不会指向下半平面，它从4(0,0)=T(0)旋转到 a(0,)=T(0), 于是 fn如-mdao,o- 同理，∫a-a(,D.当阔1山()中的P点从0点沿 曲线方向旋转一周时，P0总是指向下半平面，它从 a(0,)=-T(0) 旋转到 a(L,)=T()=T0) 于是 ∫n加-aau= 因此 axiopdada ·33-
n-1 如果曲线0位于下半平面@，则同样可得，=一1.定理证 下面我们给出引理的证明② 对每点P∈4，我们用p表示向量OP,在不致混沸的情况下， 我们常用向量？来代表点P. 前面我们曾利用曲线的切线与固定直线的夹角(0≤<2x) 来定义连续可微函数日.按照同样的方法，对每点p∈4，在线段 OP上，利用a(p).0<s≤1，可定义连续可微的函数a.这样a 就在4上的每一点p有了定义.下面要证明函数(p)在任一点 p∈4处连续.也就是说，对任何8>0，要去找到8>0，使得当 1p一o<8时，可推出a(p)一a(po)i<s.我们分几步来讨论. (1)我们要证明必可找到数”>0，使对线段OF。上每点 po(0≤8≤1)，只要ip'-o<门，则a(p)与a(8po)的夹角小于 受（见图12）. 为此，我们用反证法。如果这样 的数？不存在，则对任何一列趋于0 的数{}，总有点列p∈OP。,使得以 为中心，4为半径的圆内总有一点 ,使得a(以)和a(p0的夹角>受. 但因为OP,是闭区间，所以在{P}中 图12 必可选到收敛子序列，仍记为{P,且 使p→p∈OP,显然由→0知道，这时→p,即在点p的无 限邻近处总存在着点书，使得a(p)与以p')的夹角≥空.但另一 ①这时闭曲浅0约方向是颗时针方向. ②引理的证明部份在初法时可以略去， 。34
方面根据4(p)的连续性，知道在p'点必能找到数n>0,使当 卫一p1<)时，a(p')与（卫'）的夹角小于受，这就引起了矛盾. ()因为a(p)在4上连续，所以必存在以pa为中心，半径为 8(不妨取8<)的一个小圆，使得对圆内的点P,a(p)与a(p) 的夹角小于B,即当2一p0<6时，有 a(p)-a(po)=2n+81 (1-26) 其中|1|<e,而n是一个（与p有关的）整数」 ()现在将()中的p点固定，再作函数 (8)=a(sp）-a(spo) 其中0<8≤1.显然()为8的连续函数，而且(1)=2mx十4， ④(0)-0（见图13）.如果n≠0（不妨设n>0),则如图13所示，必 有0<g<1,使得()=受即a(sp)-a(p)=受也就是 说a(gp)与a(spo)的夹角为受.但因为 Is'p-s'pol =sp-polp-pol<8<n 所以由(1)知道，a(8p)与a(8po)的夹角应小于受（见图14）.从 而得出矛盾.因此%=0，故由(1-26)得到 la(p)-a(po)-811<8 图14 ·35·