这样就证得了函数a(p)在区域A上是连续的.至于a的可微性 的证明方法与9的可微性完全相同.引理证单 我们已证明了当简单光滑闭曲线的方向是逆时针方向时，切 向量绕此闭曲线一周的转角为2π.对分段光滑的曲线也有类似 的结果。 定理设平面简单闭曲线C是由若干段光滑曲线C,.,C。 所组成，在角点A,.,A处曲线0的外角分别为，.，日（见 图15)，则 新。函+含8，-2x 其中B()是从x轴正向到曲线C,上每点的切向量的正向夹角，在 每一段弧C上（不包括角点），8(8)可取为可微分函数. C+1 0 图15 证明为确定起见，设C的方向是逆时针方向。在每一角点 山的近旁取点P,∈C-1(当8=1时，取R∈C),点Q∈C.作 一条在P,Q点与0相切的光滑曲线P@,并用它来代替PA+ A,Q,且简记弧0，中的，P41部份（当8=n时，记P1为O)为 C,于是分段光滑曲线O被光滑曲线 ·36◆
O:P②1+0+PQ2+0+.+PQn+0 所代替.由光滑曲线的旋转指标定理知道，心的切向盘绕C一 周后转角为2π，即切向量 沿PQ1的转角+沿C1的转角+. +沿卫Q,的转角+沿C心.的转角-2x 设P:点的切线与Q,点的切线相交所成的外角设为出（见图15）. 于是O的切向量沿PQ的转角为，因此 吲十切向量沿C的转角+.十 +切向量沿C的转角=2x (1-27) 当点P,Q→点4时，显然有以→9，切向量沿C心，的转角→切向 量沿C,的转角，所以对(1-27)式取极限后得到 01+切向量沿C1的转角+.+日。+切向量沿C.的转角=2x 因为切向量沿C,的转角为。0，所以上式即为 2a0+含9，=2x 定理证毕， 8.8凸曲绒 如果一曲线在其每点切线的一侧，则称此曲线为凸的。 定理平面简单闭曲线O是凸的充要条件为，（⑧）不变号 证明设()为6.1中定义的函数。因k,间奖，所以 ,不变号等价于日单调（增抑或减少）. 充分性：若9单调，而O非凸，此时O上存在一点A,使得 C在A点的切线专的两侧都有点（图16）.因C是闭的，选取￥的 正侧并考虑从C的一点到：的有向垂距P(),p()是3的连续函 数.所以必存在C上的点B、B,使得P达到极大和极小.是然 ·37·
B1、B2在的两侧，而且O在点B1、B,处切线红、g平行于花 AB、B三点中，必有两点的切线 T()指向相同设这两点对应的弧长参 数为&和，<.因为T()=T(), 所以0(8)=(s)+2x.由平面简单闭 曲线旋转指标定理得知，角0在[0，可 上的变化不超过2，这里工表示0的 图16 长度.故-1,0，或1. 若n=0,则()=6().由日的单调性，知日在[s,]上为 常数。 若n=土1，仍因0在[0，]上的变化不超过2x,知8在[0，] 与[a,]上具能等于常数。不管那种情况，在，所对应的C上 的两点之间，必有一段孤是直线段，因而在这两点的初线相同。但 花左与2是三条不同直线，得出矛盾.故曲线是凸的。 必要性：设曲线为凸的：，如果日不单调，则存在三点<< 8,使得日(&)=9(s)≠(0)：因C是平面简单闭曲线，它的切线像 是整个单位圆，所以必存在，使得T()”一T()=一T(),即 在、8g处切线相互平行.如果这三条切线互不重合，则中间 条切线的两侧各有由线C上的点，而与C的凸性相矛盾，于是这 三条切线中必有两条重合，因此曲线O上 存在两点A,B落在同一条切线上.若 D底在线段B上，而不在O上.过D 点作直线u垂直于t(见图17)，“不可能 是C的切线，否则A,B两点分别处于直 线“的两侧，这与O是凸曲线相矛盾.于 是山至少交0于两点，记为E,F,并设F 图17 靠D更近些.因为F点在△ABE之中，所以过P点的任何直线都 ·88
不能使三角形的三个顶点A、B、E位于直线的一侧.因此在F处 的切线的两侧都有曲线O上的点，这与O是凸曲线相矛盾.由此 可见，AB上的点均在O上，并且A、B处的切线同向.因此A、B 对应的孤长参数只能是1、81.显然对所有的8∈(，)，(8)兰 9(,这与()=9(a)+8(o),<0<相矛盾，于是日必为单 调.定理证毕 6.4等周不等式 所有等周长的平面简单闭曲线中，什么曲线所围成的面积最 大？人们很早就知道它是圆周：但是直到1870年才由Weieratra 用变分法对这个事实给出了第一个严格的证明 等周不等式设C是长工的平面简单闭曲线，A是O所围区 域的面积，则 I-4A≥0 等号当且仅当O是圆周时成立. 证明设、是不与闭曲线O相交的任意两条平行线.将 它们平移到刚好与0相交的位置，得到0的两条平行切线与 (见图18).它们将O夹在中间的带状区域.作一圆与、相 切，而不与C相交.设的半径为，证明的基本想法是比较曲 线O与圆周S所围区域的面积.为此将坐标原点取在的圆心 O,而x轴正交于l、2.使曲线C:r()-(c(,y()的定向为正 的，且1、2的切点参数值分别为8=0及8=，圆S的方程为 (③)=，)=((，)，∈0，]，面积为 1-x-fie'ds 面4~后yd.对向量(e,)与（一多，）的内积用Sohwar不 等式，得 |(e',y)（-9,)i≤i(,y)别l(-9,) ·9·
再利用+=2及x”+=1就有 4+r-y-)d≤划-0 -g1a,(-,≤f61〔-或s -rfds-Ie 利用两个正数的儿何平均值不超过算术平均值，可得 √ax<4+r< 即4A≤I,这就是等周不等式. 要使产=4πA成立，上述推导过程的不等号均应取等号.对 于平均值不等式，就有A=需2，从而L=2xr.而当8 ohwarz不等式 取等号时，其中出现的两个向 ,) 量必线性相关，即存在数G,使 （-,)=c(,) =0 其模长r=√伊+了 =lc√e+y ·=cl 于是 (-9,)=±r(x',划) (1-28) 图18 又由/r08B (多-ring知道 d -ri血0=-y d mrc03日=花 因此(1-28)可改写成 ·0·