?求平面弧长参效曲线，使它的曲半0)1+， 3设两曲线可建立对应，使对应点有公共的主法线，则称两曲线为Bertrand 曲线，其中一条称为另一条的共轭曲线.证明以下曲线均为Bertrand 曲线： (1)平面上的同心圆： ②c:r1-号(ao-=可，1-，0 0cern-音or-W1-s1-+T3,0) 4设曲线C,C2为Bertrand曲线.证明：C1与C,的对应点之间距离为常 数，切线交定角. 5证明：(I)任何平面曲线都是Bertrand曲钱； (2)若r+0,则空间进线成为Bertrand曲线的充要条件是：存 在常数入，u(3中0)，使 Ak+ureI 6证明：若两条曲嘰可建立对应，使对应点的从法线重合，则这两条曲线 或者重合，或者都是平面曲线。 7设曲线r2()在()的切线上，且n()与r()在点的切线相互正交， 称r()为r1()的渐伸线，·而r1()则称为r2()的渐缩线。著r1(s) 为弧长参数曲线，当k牛0时，证明 r(8)=r1⑤)+(c-5)T(),其中c为常数.· 8证明：平面曲线，6牛0时有一条渐伸线，k午℃时渐缩线是一投 螺线 9求圆的一条渐伸线。 10设r(s)是弧长参数曲线，1（©），(9)是r()的两条不同的渐伸线。证 明：n(⑧)与r2(s)是Bertrand曲线偶的充要条件是：(8)是平面曲线. 1山设T()、N(s)、B()分别是曲线C的单位切向量、主法向量与从法向 置，到以下曲线 C1:r=T(3),Czr=N(s),Cs:r=B(s) 分别称为曲线G的切线、主法钱与从法线的求面标线。证明：(1)若 为C(位=1,2,3)的弧长，则 密-%器v+可，器- ·26·
(②)切线的球面标线为常值曲线的充要条件是C为直线，切线的球面标 线为大圆成大圆的一部分的充要条件是C为平面曲线： (③)从法线的球面标线为常值曲线的充要条件是C为平面曲线； (④)法线的球面标线永不为常值曲线. §6平面曲线的一些整体性质 在应用Fnet公式研究曲线在一点邻近处的性质时，我们把 讨论的范围限制在一点的充分小邻域，这样得到的性质是曲线的 局部性质.如果以曲线的全部或一段作为研究对象时，就得到曲 线的整体性质：我们在这里列举曲线整体儿何（或称大范围几何） 的几个例子，从中可以初步看出局部和整体性质的区别和联系， 6.1关于闭曲线的一些概念 如果可微映照[a,]→E将映照为r(),r(份及其各阶导 数在、b两点相同，即 r(@)=r(b),r'(@)=r'();r"(a)=r"(b),. 则称r()为闭曲线.如果曲线T()自身不相交，即从中就有 掌（传）≠r(),则称为简单曲线。 特别，取8为闭曲线的孤长参数时，它的切向量T(®)一 (d(⑧)，()，()具有单位长，它的末端点形成了单位球面上的 一条可徵曲线T(),称它为r()的切战像.如果空间闭曲线的 长度为L,则切线像的全长为 &-5To1s=j6( (1-24) 我们称K为空间曲线r()的全曲率. 对平面闭鱼线，再令K,-后，。出，称K,为平面曲钱的相 对全曲率. 对于平面闭曲线，切线像的轨迹显然落在单位球面的一个大
圆弧上。反之，若一曲线的切线像落在单位球面的一个大圆弧上， 则该曲线必为平面曲线.这只要将T()具有固定平面的条件代 入挠率计算公式即可得证， 考虑平面闭曲线C:掌()=((8)，y(s)),其中8为弧长参数. 令(8)表示T(8)与无轴的夹角(0≤百<2，按逆时针方向计算) 函数(s)对每一E[0,)有定义，而在()-0的那些s处可能 不连续。我们来证明如下的定理 定理设(3)是平面曲线的切向T(s)与x轴的夹角，0≤() <2x.我们可以用它来定义[0，幻上的一个连续可微函数(&)， 使得（与0(o)只相差2x的整数倍，即0(）=0()(mod2x.。 T《)=k,N 、() T() (s) 8(8) 图8 证明在(8，)平面上曲线()的不连续点把曲线分成若干 条连通的弧段，按照孤段端点分属直线日=0，日=2x的情况，它们 可分成四种类型（见图8） 由于T()是定义在闭集0<6<工上的连续函数，所以它是一 致连续的，故可选到适当小的8，使得只要8的数值之差小于8时， 相应的T的夹角之差就小于元.因而(s)上的工I型弧段只能 是有限条。否则，这些弧段的端点就会有聚点，而在聚点附近，虽 然。之差小于8，仍会使T的夹角之差大于. 现把(s)上每条IV型的弧段下移2x,就得到一条新的曲线 五：(8)，它至多只能在1Ⅱ型弧段的端点处才不连续，因此只能有 .28
有限个不连续点。设它们的参数依次为1,2，.， 现定义(s)如下.首先我们在0，)上定义9()-百(s).由 T的连续性可知1i如A,(阁-()+2，是整数.再在[，) 上定义9（⑧）=可（⊙）+2k.于是在0，)上，()是的连续函 数，且与（⑧）至多只差2r的整数擅.依同样的方法可以在[0，) 上定义8()，最后定义0()=。(.·显然在[0，上，6（©） 是连续函数，且与()只相差2x的整数倍.由于T(s)=(x(s), y(s)=(cs9(),i血9(&)是可微的，可知coe(s)和血(s)都 是可微的，而(8)又是连续的，因此8（⑧）也是可微的.定理证毕. 用上面定义的8()，可将平面曲线C:产-r()的切线像写成 =((s),y'(s))=(cos0,n) 这时成立 城-妥-云(g血-9(-血a约-N 即得 0=k 并且 K,-,(a)山-。6（沿曲线r(倒的积分）(1-2) 即沿着平面闭曲线走一衢时，相对全曲事就是角日的总变化. 下面给出在一般参数时，求曲线的全曲率的例子. 例求椭圆r()=(acos t,bi血t,0)的全曲率. 解我们曾经算得椭圆的曲率为 ab k(t)= (a"sint+62cost) ()(a'sinto) d度 全度率K-心4山-e(e》密k dt 4o0+oe7-1+a ·29·
令u=名g,则a=84得x-40中-4受-2x 6.2切线的旋转指标定理 对于平面闭曲线C,设(a)是从x轴正向到&处切向量T(8) 的交角，从§6.1知道，可取（为·的连续可徽函数，如果L为 C的周长，因T(0)-T(),故()-6(O)必为2：的整数倍，即 曲线O的切线像T()在单位圆上环绕原点绕了若干圈（逆时针旋 转时，圈数为正；顺时针旋转时，图数为负). 定义平面闭曲线C的切线像在单位圆上环绕原点O所绕 的圈数，称为C的旋转指标（见图9中的例子） 显然，由旋转指标的定义中可以看出 4-Da0-er0k去{。k 2 从图9中的()、(b)看到，它们都是简单闭曲线，旋转指标是 士1；曲线方向相反时，旋转指标取相反数；如果闭曲线有自交点， ,就不一定为士1.·一般地，我们有下述定理. 定理简单闭曲线0的旋转指标等于土1， 证明在曲线0上总可取到一点O,使得整个曲线C都位于 O点处切线的一侧.再取一个平面直角坐标系{O,y},使得原点 为0，m轴的正向为曲线0在0点的切向.先不妨设曲线O位于 上半平面①.在此坐标系下，曲线0的方程设为掌=r(⑧)，其中8 为弧长，0≤≤L,L为0的周长： 在0上任取两点P、Q(见图10)，'设它们的弧长参数分别为 “,他，其中0<贴≤w<工.如果P,Q是两个不同的点，作向量F 如果P=Q,则作曲线C在P点的切向量T().于是在(w,)平 ①这时闭曲线·的方向是逆时针方向。 ·30·