(1)必存在以弧长3为参数的正则曲线r(),使得它的曲率 ()与挠率r(s)分别等于已给函数(3)和(8)； ()若给定了初始标槊{ro:T,N。,B}(其中To,N,B。 为相互正交成右旋的单位向量)后，则存在唯一的一条曲线，它的 曲率、挠率分别为给定函数(a)、云()，且在8=0处的en®t标 架{r(0);T(O),N(O),B(0)}={roT,B. 基本定理的证明相当于去求解下列常微分方程组 =T ds d? (⊙N ds dN ds -()T +(s)B dB -()N 为此，需要用到关于常微分方程组的下述结论. Picard定理@设取值于的向量函数A(化，)在闭区域 D:{x一c≤K,一a≤T内连续，且满足Lipe hit恤条件.设 M=gPA(,川 则向量微分方程 架-Ae,0 在阅区间：-a≤mn(仅，)内有唯一解，且满足初始条件 (a)-c. 曲线论基本定理的证明考察微分方程组 4@-含时国@j1,2,3 D其证明可见N,M.Tmme(ed),Nonlinear Analysis,V,2,P89,定理 4.3. ·21·
其中()为反称矩阵： /00 -x 0 、0-x0/ 及初始条件：山(O)。=T,u2(O)=N,u(0)-Bo,其中TN, B。为相互正交成右旋的单位向量.将（仙，山，）视为9维空间 中的向量，然后运用Picard定理可知，上述方程组有唯一解(&) 满足其初始条件.现在我们证明解（③）具有下列性质 1°向量1(s),42(),a(s)在s处相互正交 记Pw()=(8)4(s),则· a)-·+42i划+2时m 且Py满足初始条件：Pw(O)=8w,这儿8g是Kronecker8(当+j 时，6y=0,当=j时，8y=1).再次运用Picard定理后知道，这 方程组有唯一解P,另一方面由于()为反称矩阵，所以有 ay+a时8a)=af+a财-0 因此，Pg-ig就是所求的解.于是，ky=P4,=8w,即41(8)，()， w()互相正交 2”作r回-”+4o)do,工，则密-同，且有 器=-间助 因实-“=工，故r句是以孤长为参数的正则曲线。且因舌 连续可徽，所以 警-+所-+(-+ 从而连续，即r(网是三阶连续可微前线。 ·22·
3°我们来证明()=(，()=，T)=4(),N( =u(8),B(8)=ua(. 事实上，由2°知'=4，即T-,两边求导后得到 kN-T==无w2 因为N与4均为单位向量，>0，故有-系，N=u. 在s=0处，(u,2g)=(。,N。,B)=1,在s处，由1° 可得(，u2,ua)=士上，但因(u,u2,g)是8的连续函数，故 (（u,u2,3)=1,即1,42，ug成右旋.于是有 B=TxN-tixta=us 对它两边求导后得到 -N=B'-6=-u 于是下=元.这就证明了曲线r(s)的存在性.由Picard定理知道， r(s)也是满足{r(O)；T(O),N(O),B(O)}={r;T,No,Bo}的 唯一解.定理证毕 系设两条曲线r(⑧)，1（⑧）在弧长参数的相同的点具有相 同的曲率与挠率，则可用一个运动使它们重合.此时，这两条曲线 称为相互合同， 证明设两曲线r(s)与r1(s)满足条件需()=(8)，（⑧）= (8),s∈I.又设{r(0);T,N,B与{(O);T,N,B}分别 是两曲线在=0处的Frenet标架，显然有的运动，将r(O)搬 到r1(O),并将T,B分别搬到I,N,B.因为在运动下， 曲线的弧长、曲率、挠率都不变，故由曲线论的基本定理知道，这两 条曲线在其余各点也相重合.系证毕. ·根据曲线论基本定理，对于给定的k>0和下，如果已求得捕 足某一初始条件的解曲线掌（©，那么对其他的初始条件的求解问 题可化为寻找一运动的问题.这样往往可以避免去解繁琐的微分 方程组， ·23
例求适合下=ck(c为常数，>0)的曲线r()」 解当c=0时，-0，由§2中的定理知道，它是平面曲线的 特征.下面我们设c≠O,根据已知条件写出Frenet公式 T N-%T +ckB B'= -ckN 引进参数 )(o)do 后，方程组化为 dT 衣 (1-18) dN =T +cB (1-19) dt dB- -eN i di (1-20) 于是有 N-N-eN-oN 其中w=√1+心.将上式积分后得到 No cos ot a+sinat b (1-21) 其中a,b为常向量.将(1-21)代入(1-18)，再积分后就得到 T-王(ain ot a-coe+cf) (1-22) 其中了是常向量，了前面乘以常数·是为了以后运算的方便。再 将(1-22)代入(1-10)后就得到 B-8(血ua-awbj+己 (1-23) 容易验证，当N、B为(1-21)及(1-28)时，(120)也成立.于是我们 得到方程组(1-18)，(1-19)，(1-20)的通解{T(),N(),B()}. 但由曲线论基本定理的证期中知道，在初始点=0（即=0） 时应保证(TO),N(O),B(O)}为单位正交右旋标架.因此对 ·24·
(1-21),(1-22),(1-23)中的常向量a,6,f还要如以一定的限 制.。因为 T(0)= 6+8∫ N(0)=a B(0)= 8b+品 其中w=√1+C,所以标架{Tr(0),N(O),B(0)}与标架a,b, 之间的变换矩阵 1 0 1+ 1+e2 1 0 0 0 /1+c 1+G2 是行列式等于1的正交阵，因此只须选取常向量标架{，b,}为 单位正交右旋标架就行了】 最后，由名-T积分后就得到所求的曲线方程为 r倒-(mam(odaa-oowd(aXko.b+.af）to 其中是常向量， 特别，当k(>0)与x均为常数时，r()为圆柱螺线，这当然可 以从上述掌()的表达式通过积分求得.但也可用曲线论基本定 理来证明，因为我们事先已算得圆柱螺线1（⑧）=(rc08话，r血ws, s)的曲率与挠率为常数（见82例3），而酴一运动外，(>0)与 x又唯一地决定了曲线. 习题 1证明：除直线外，一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切 线 25·