§4曲线在一点邻近的性质 作为Frenet公式的直接应用，我们来研究曲线C在一点邻 近的性质.不失一般性，取点P。的弧长参数为=0。在8=0邻 近将r(s)按有限阶Taylor展开 r)=r@)+m《0+云r"0+哥"o)+R-1) 其中余勇R满足细是-0.图为r6-工，r因-W及 ()-(kN)'=&N+N=kN-bT+ktB 所以有 r()-r(0) -（-292)ro+(0+0)No) +斋(0)r0B(0)+R (1-12) 现在取{PT(O),N(O),B(O)》为断的坐标系，則曲线上点 的新坐标可由下式给出： ⊙=B-(0)过+B, o-+0+a 2 6 (1-13) 句=O)rO+B, 6 其中R=(R,R).上述表达式称为Bouquet公式，亦称为 曲线在点P。的邻域内局都规范形式.假定(O)≠0，x(0)≠0，那 么，我们只取上述各式中的第一项，就可得到P。邻近和原曲线近 似的曲线C:r=r(&)为 ·16·
「1()▣者 a0-细 2 (1-14) （因-0r@, 6 它与原曲线C在P。处有相同的曲率和挠率，及相同的FPm叶标 架，于是它们在P。点处的密切平面、法平面及从切平面都一致. 因此，曲线C在P。的密切平面上的投影近似地为一条抛物 线（图7(a) 【1(G)=8 h倒-0 (1-15) 2 在P。点的法平面上的投影近似地为（图7(）) 「回-〔0 2 (1-16) la句-0)x02, 6 而在P。点的从切平面上的投影近似地为一条三次曲线（图7(）) (8=5 a0-0x@ (1-17) 6 (a)在密切 ()在法平面的 (c)在从切平面的 平面的投影 投影(x>0时 投影(>0时）》 图7 。17·
由局部规范形式可以直接得出： 1°挠率符号的几何意义 我们规定B所指的方向为密切平面的正侧.那么当8充分 小时，由(s)的表达式知：若x(O)>0时，'曲线沿弧长增加方向穿 过密切平面指向正侧：而当(O)<0时，则相反 2°在8=0的充分小邻域，曲线完全落在从切平面指向N的 -一侧.·事实上，因为(0)>0，所以y()≥0.而且仅当8=0时， 有y(s)-0 3°曲线在8=0处的密切平面就是8=0处的切线与邻近点 T()所决定的平面（当→0时）的极限位受.事实上，由点r()及 8=0处的切线所决定的平面方程是 Z=mY 答+. 其中 之() 6+ 当8→0时，m→0.于是所决定的平面趋近于2=0，即密切平面。 在正则曲线r(s)上，当参数&变化时，得到一族活动的Fr阳net 标架{r(s);T(s),N(s),B(s)》.在研究曲线在一点邻近的几何 性质时，Fmt标架是一个十分有力的工具.可以想象，如果在 曲面的每一点也能附上一组与该曲面的特性密切相关的活动标 架，则对揭示曲面的儿何性质也将是十分有用的.今后我们将多 次运用这种“活动标架法”. 习题 1证明曲线在一点和它的近似曲线有相同的曲率和挠率。 2若两曲线关于一平面对称，证明：在对应点两曲线曲率相等，而挠率相差 一符号. 18
3设P。是两曲线C1,C,的交点.在P。的一旁邻近我点P1,P2分别属于 G,C,且使曲线孤长-，者四票0，则称由线 C1,C2在P点有n阶接触.证明： (1)两曲线具有”阶接触的充要条件为 -r,.,r=r (2)曲线C的切线是在切点与曲线有一阶接触的唯一直线； (3)若曲线C每一点的切线与曲线有二阶接触，则曲线C是直线 4求一个圆，使它在原点与抛物线y=x有二阶接触. 5设曲线C上一点P。满足r'(O)×r"(O)*0,P是曲线C上与P。邻近的 一点，1与？分别是曲线在P,P处的切线，当P趋近于P。时，求下列 平面的极限位置： ()过P与的平面； (2)过P。与1的平面； (3)过6而平行于1的平面： (4)过1而平行于6的平面. 6设P。为曲钱C上一点，P为曲线上P。的邻近点，1为P处的切线，点 Q为点P向切线1所引的垂线足，记 d=d(P,Po),h=d(P,Q),pd(Po,Q) 证明：)期会0 ②)k-粉 7设已给定中心在m,半径为T>0的球.r=r(s)为曲线C的方程， d(s)=(r(s)-m)2 若在动处满足下列条件： d(s）-rd(so)=d"(s）=.=dn(so)=0 、,则称曲线G与已给球有”阶接触.证明： (1)若曲线C落在已给球面上，则C与球有任意阶接触： (②)若℉=0，则曲线与某一球有三阶接触的充要条件为：形(50)-0.从而 平面曲线不能与球处处有三阶接触，除非曲战本身属于球面的一个 8若k()中0，证明：曲线C与已给球在0处有二阶接触的充要条件是： ·19·
m=r6+Na)+B(a 其中入可任意选取， (此时固定0得到一条直线，称为曲线在6处的 极轴，节点 m%=r）+z高) 1 将为曲率中心，以为中心，可为半径的 圆落在密切平面上，称为C在0处的密切圆) (第8莲图) 9 若x()+0,证明：曲线C与已给球在0处有三阶接触的充要条件是 -份中是是鱼经 (比时已给球的中心为m,-r+poN+需8(。称为 曲线在动处的密切球，)】 10设在曲线C上点P邻近任意取三点P1,P,P.证明：当，P,P 沿着曲线独立地趋近于P时，过P,P,P,P的球的极限位置就是 曲线C在点P。处的密切球. 11证明：圆柱螺线的曲率中心轨迹仍然是圆柱螺线. §5曲线论基本定理 前面我们已经看到，曲率飞和挠率x可以刻划某些曲线的特 征 直线： 肠=0 平面曲线： k中0，·x=0 螺线： 名一常数 事实上，我们可以有进一步的结论：当帚≠0时，飞与：完全刻划了 曲线的几何形状.下面的基本定理阐述了这一事实。 曲线论基本定理给定I=(@,)上连续可微函数(s)>0, 及连续函数(8)，则 20