41 -4+ 其中A为3阶正交阵.列向量62是常向量， 设曲线()的弧长、曲率与挠率分别记为&k与x,曲线 ()相应的量分别记作、与，则因 / a dt -A dt 器 =4 器 、 d d21 Pa d话 d证 dt dt 由此可知-|，器- :从而 国-川9到-小2山- 因此弧长是运动的不变量.再用曲率与挠率的计算公式(18)，可 知曲率与挠率也是运动的不变量.定理证毕， 习 题 1求曲线r=(x),y(),()》在6处的切线与法平面方程。 2求以下曲线的曲率和挠率： (1)r=(acht,asht,at) (2》rm(co3克，int,0o82) (3r=(a(3t-t),3a,a(3t+t),(a>0) 4)r=(a(1-in),a(1-co8t),bt) 3求以下曲线的切线，主法线与密切平面方程 ()三次挠曲线r▣(，b,c) (2)圆柱螺线r=(rco8s,rins,hws) 。11
其中，乃为常数，w=(+h码 4求平面曲线在极坐标下的曲串公式， 5设曲战C:r=r()在P(o)处满足r'(o)×r"(to)+0.求当曲线C上邻 近P。的两点P,P,独立地趋近于P。时，由这三点所决定的平面的极 限位置 6证明：國柱螺线的主法线与它的轴正交，而从法线则与它的轴交于定角。 S3 Frenet标架Frenet公式 综上所述，在曲线掌（⑧）的每点·处，都有三个互相正交的单 位向量T(、N(倒及B().我们把{r(;T),N(),B()} 称为曲线在&处的Frenet标架. 因为ee叶标架是单位正交的右旋标架，所以可用它来作新 的直角坐标系的标架，并用这个新的直角坐标系来研究曲线在一 点邻近处的性质，这在§4中将要详细讨论.曲线上每点都有 Frenet标架，所以就有必要研究在两个邻近点s,+:处两套 Frmt标架{T(s),N(),B(s)}及{T(s+4s),N(s+4s), B(s+s)}之间的变换关系。当山→0时，这也相当于要研究 T(8,N(),B(). 从曲率嘉及挠率？的定义可知 .T=N及B-xN 又由N=B×T可得 N'-B×T+B×T=-xNxT+BxN=xB-k 这样，就可以将Fnet标架的三个单位向量的导向量写成下列公 式 N'=-kT十xB (1-9) B'- -tN ·12-
通常称它为曲线论的基本公式(nt公式). 从(19)式可见，当曲线C的曲率、挠率。已知后，邻近点的 Frenet标架之间的变化情况也就清楚了. 在平面曲线论中，我们可选取法向量N,(8),使{T(),N,(s)) 的定向与普通直角坐标系的x轴和y轴的定向相同，此时，Frenet 公式成为 「T=k,N, (1-10) N:-kT 但这里的，的正负由曲线的定向及平面的定向所确定，可能是 正值，也可能是负值.为表示与空间曲线论中所定义的曲率 一|T()|(总取正值)相区别，我们将这里的曲率称为平面曲线 的相对曲率({=) 下面举例说明如何应用rnet公式去导出某些简单的几何 性质」 例1若曲线的密切平面处处平行，则曲线是平面曲线. 证明密切平面平行的条件为 B=常向盘 将等式两边求导，得B=0,设r。=r(O),要证明(s)是平面曲线， 只要证明B.(r-r)=0就行了.由 (B.(r-o)'=B.T0 可知B(3)·(r(s)-r)为常数，但B.(r(e)-ro)!=0,故 B(r一r)后0，这就证明了掌（③落在一平面内. 注也可以从B=0导出r0,由此得出（©）是平面曲线. 例2者曲线的所有法平面通过定点，则曲线是球面曲线（即 此曲线落在一个球面上). 证明不妨设曲线r(8)的法平面通过原点，则 ·13·
T(s)-r(s)-0 由 (rr)'=2r.r=2r,T-0 知道|r2-常数，即曲线r(a)落在一个球面上 例8设r()是单位球面”上的一条曲线，·为弧长参数， 它的曲率，挠率x都不等于0，则 r-pN-p'oB 其中®=二（曲率半径），。-子（桡率半径）， 证明设r=aT+bN+cB.因r()在S”上，故有 .1r|1=1 将等式两边求导，得 2r-0或a=r.T-0 再对此等式两边求导，得 .T+r.T-0或T+r(kN=0 因此b-rN一是-P.再对等式-p-rN两边求导，得 -p='.N+r.N=r(-kT+rB)=tr.B 可知c=r,B-二卫=-p'o.从而求出了r在Fnt标架下 的分解式 从上述例子可以初步看到，应用re0t公式解这类问题的特 点大致分三步： '(1)将几何条件表达为代数方程： (2)微分这些表达式（尽可能多次的次数），并将Frenet公式 与儿何条件代入： (③)解释所得结果的几何意义. 。14·
习避 1若8为弧长，证明()红=一T',B (2)(r',r”,r=2+ 2设s是单位球面上曲线C:r=r(s)的弧长，证明：存在一组向量a(), b(),c()及函数λ(s),使 a'= b'=-a (s)c d'a -(s)b 日设s是曲线C:r=r()的现长k,>0:曲线C:h⊙=B(o)a的 曲率、挠率分别为1、1.切向量、主法向量、从法向量分别为T,N; B1证明： (1)9是01的弧长； ()1=下，1=k,T=BNm-N,B=T; 4设=(x(8),y()是平面颈长参数曲线，t(),n()}是它的Frenet标 架，证明： n(8)✉(-yo),士s): ”()=k()(-y(8,x() 5求以下平面曲线的相对曲事k(假定弧长9增加的方向就是参数增加的 方向)： (1)椭圆r(aco8t,bi如)，0t<2每 (2)双曲线r=(acht,bh) (3)抛物线r=(伤，t (4)摆线r=c(化-n,1-co) ⑤悬链线r-毛，ach) (6)曳物线r~(aoep,alh(e0p+g）-ainp）,0<单<复 6求平面上相对曲率等于常数的曲线。 7证明：()若曲线的所有切线通过定点，则曲线是直线： (②)若曲线的所有切线平行于同一平面，或者所有密切平面通过 定点，则曲线是平面曲线。」 。15