《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第5章 相似矩阵及二次型 5.5 二次型及其标准形

L12 21 022 Cn2 011 412 记 A- 21 22 xX= 则二次型可记作f=xTAx,其中A为对称矩阵

则二次型可记作 f x Ax,其中A为对称矩阵. T = , , 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1               =               = n n nn n n n x x x x a a a a a a a a a A         记 ( )                             = n n nn n n n n x x x a a a a a a a a a x x x          2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 , ,

三、二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型.这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系. 对称矩阵A叫做二次型f的矩阵； f叫做对称矩阵A的二次型； 对称矩阵A的秩叫做二次型f的秩 回

三、二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型; 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的 秩

例1写出二次型 f=x2+2x2-3x3+4x1x2-6x2x3 的矩阵 解 01=1,a2=2,033=-3, 412=421=2,03=031=0, 023=032=-3. (1 2 .A= 2 2 3 0 3 3 上页

解 a 1, a 2, a 3, 11 = 22 = 33 = − a a 2, 12 = 21 = a a 0, 13 = 31 = a a 3. 23 = 32 = − . 0 3 3 2 2 3 1 2 0   − −  A = − . 2 3 4 6 1 2 2 3 23 22 21 的矩阵 写出二次型 f = x + x − x + x x − x x 例１

四、化二次型为标准形 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形。 设 x1=cuy+c2y2++cinyn? X2=C2191+C22V2++c2nyn Xn=cnly1+cn2y2++cmmyn 记C=(c),则上述可逆线性变换可记作 x=Cy 区回

       = + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y     1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 , , 设 四、化二次型为标准形 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形． C (c ), 记 = ij 则上述可逆线性变换可 记作 x = Cy