布尔代数性质(2) 6 等式 名称 元=x 双重补律 x+x=x 幂等律 xx=x x+(x.y)=x 吸收律 x.(x+y)=x x+1=1 支配律 x0=0 心y)=x+y 德摩根律 (x+y)=x.y
等 式 名 称 x = x 双重补律 x+x = x xx = x 幂等律 x+(xy)=x x (x+y)=x 吸收律 x+1 = 1 x0 = 0 支配律 (x y) = x + y (x+y) = x y 德摩根律 6 布尔代数性质（2）
布尔代数的性质证明 结合律、交换律、分配律、同一律、补律 口蕴含：支配律、吸收律、幂等律、双重补律、德摩根律 口证明支配律：x∈B,xv1=1,xA0=0 ▣xV1=1AcV1)=(rv)A(v1)=xV(依∧1)=xV=1 ▣x∧0=0V(xA0)=(KAV(KA0)=x∧（依V0)=xΛx=0
布尔代数的性质证明 结合律、交换律、分配律、同一律、补律 蕴含：支配律、吸收律、幂等律、双重补律、德摩根律 证明支配律：xB, x1=1, x0=0 x1= 1(x 1)= (x x)(x 1)= x (x 1)= x x=1 x0= 0(x 0) =(x x) (x 0)= x (x 0)= x x=0 7
布尔代数的性质证明 8 口证明吸收律 ▣xV(xy)=(xΛ1)V(Ky)=x∧(1Vy)=xA1=x 口x∧Vy)=(v0)Λ(xVy)=xV(0Ay)=V0=x 口证明幂等律 口x人=xA(xV0)=x(应用同一律、吸收律) 吸收律 幂等律 xAx=xA(xYxx)=x(两次应用吸收律)
证明吸收律 x (xy)= (x1) (xy)= x (1y) = x1 = x x (xy)= (x0) (xy)= x (0y) = x0 = x 证明幂等律 x x= x (x0) = x (应用同一律、吸收律） 吸收律 幂等律 x x = x ( x (xx) ) = x (两次应用吸收律） 8 布尔代数的性质证明
布尔代数的性质证明 9 引理：x,y,z∈B,若xA=yAz且xVz=Vz,则x=y ▣x=xV(xAZ)=xv (AZ)=(cVy)A(cVz)∥吸收律/分配律 yy(A)=yv(xAZ)=Vx)) 口证明双重补律 axVx-l-EVx 口XAX=0=元Λ 口X=元
引理：x, y, zB, 若 xz=yz 且 xz = yz ，则 x = y x = x(xz) = x (yz) = (x y) (x z ) //吸收律/分配律 y = y(y z ) = y (xz) = (y x) (y z ) 证明双重补律 x x =1= x x x x =0= x x x = x 9 布尔代数的性质证明
布尔代数的性质证明 10 0 证明德摩根律：Hx,yEB,cy)=xVy 口根据补元的唯一性，只需证明Vy是xAy的补元。 ()v(v)=(xvxv)A(vvxv)=1 (xA)A(xVJ)=(xAyA)v(y)=0
布尔代数的性质证明 证明德摩根律： x, yB, (xy)= x y; 根据补元的唯一性，只需证明x y是xy的补元。 (xy)(x y)= (x x y )(y x y ) =1 (xy) (x y)= (x y x ) (x y y ) =0 10