其微商f(z)也是D内的全纯函数,所以,v的二阶偏微商也是 连续的,因面二阶混合偏微商x3y与ayax是相等的出CR方 程得到 32t ax2 axa y 内之得到 auau 同样叮得 a20 a. ay2 0. 这个方程称为 Laplace方程.它是偏微分方程理论中三个最基本 的偏微分方程之一,即椭圆型方程的典型方程,记作 a △u= 此处 △ a r2 a 满足△n=0的函数u称为调和函数,即全纯函数∫=a+iv的实部 与虚部均为调和函数 由于z=x+iy,-x-iy,是x(+202( x).x,y的函数f(x,y)可以考虑为z及z的函数,把x及x看作 为自变数(它们实际上:是互相共轭的,但暂不注意及此),如微分法 则可用,则可得 1/ af,:a/ 2ax y 应用这个记号,则一个函数∫是全纯的当且仅当=0.不妨说: 个全纯函数是与2无关,而只是z的函数,所以全纯函数可以看 作确是一个复变数z的函数,而不称之为两个实变数复值函数 4
0又等价于 af af 应用这些记号,则△ 复微商有很好的几何性质,即共形性 设函数f(z)在域D内全纯,z∈D,f(z)≠0,y()(0≤t≤1) 为D内过点z0的一条光滑曲线,且y(0)=z0,y(t)在点z0的切线 与实轴的夹角为argy(0),f(z)把Y(映为过点o=f(xo)的光 滑曲线a(t)=f(y(1),于是d(t)-f(y(t))(t),d(0)=f(z0) y(0),a()在点v的切线与实轴的夹角为 argo(0)= arg/(zo)+argr(O) 此即为 argd’(0)-argy(0)=argf(z。) 即σ(t)在点v处切向量的幅角与y(t)在点z处切向量的幅角之 差总是argf(z0),与Y(t)无关因此,过点z的任意两条光滑曲线 y1(1),y2(t)(0≤≤1),y1(0)=y2(0)=z0,它们在f(z)映射下的像 分别是过点w=f(x0)的光滑曲线a1(t)与a2(t)于是 argon(0)-argY2(0)=argo,(0)-argr(0), argo(0)-argG,(0)=argY(0)-argY,(0). 所以r(t)与y2()在点z0处的夹角等于o1(t)与a2(t)在点a f(za)处的夹角,也就是说,在映射v=f(z)之下,在微商不为零的 点处,两条光滑曲线的夹角的大小及旋转方向是保持不变的,此为 f(x)在z处的保角性 另一方面,由于 f(x)-f(z0) fC lim 任取过x的曲线y(t),在映射f(x)下成为a(t),那末 f(z)-f(z0) wU , lim If(z) 之 即像点之间的距离与原来两点之间的距离之比的极限与曲线无 15
关,称|/(x)为f(x)在点z处的伸长度因此任意一个以x为 顶点的小三角形,经过f(z)映射后,成为一曲边三角形,它们的微 分三角形是相似的.上述两个性质加在…起,称为共形性所以我 们称在D上的全纯映射为共形映射(若f(x)≠0),在第四章中, 我们要详细讨论之 §1.4复积分 如果f(t)=u()+i(为一个在实区间[a,b]上定义的复值 函数,则 f(rde=u(r)dt +il v(t)de 如果y是一个分段可做弧段,其方程为z=x(t)(a≤长≤b),∫(z)在 y上定义且连续,则∫(x(1))也是t的连续函数.令 f(z)de 作为f(z)沿复曲线γ上积分的定义,这是一个参数变换下的不变 的积分.如有增函数t=t(x)将a≤≤B映为a≤t≤b,t(z)为逐段 叮微,则 f(z(L))2(t)dt=I f(z(r(r)))2(L(r))dr dz(t(r) dr 如果用 Riemann和来定义线积分也可获得回样的结果.于是有与 普通线积分一样的性质,例如 如y=y11Y2+…+yn,则 f(z)dz f(z)dx +I f(z)dx+.+f(z)d
所以对复积分没有太多可以说的了,那末对应于微积分的第三部 分,应是怎样?在复平面上,对应的是复形式的 Green公式,现在尽 量用一般通行的符号来书写之.为此,我们用复的外微分形式,视 z为独立变量,定义微分的外乘积为: dz adz-0,d∧dz=0,dzAd2--dz∧dz, 这里 dx= dx + id y, de=dr- id 所以 dzadz=(dr-idy)A(de t idy) idndr+idx∧d e 2idr: Ady= 2idA, 这里dA为二维囿积元素如同实的情形那样,定义0次外微分形 式为函数f(x,);一次外微分形式为adz+a2dz,这里a1,2.为x, z的函数;二次外微分形式为 Wodza dz,这里mb为x,z的函数;定 义外微分算子d=05,这里3,0=32显然也可以证明do =0对任意外微分形式a都成立,于是复形式的 Green公式为: 定理2若ω=wdz+adz为域』上的次外微分形式,这 里am1=m1(z,z),m2-m2(x,x)均为z,的可做函数,d为外微分算 子、即d)+3.这里a a的边界为)2,则 dar 证明若ω1=1+11,2-62i,这里1,712·7均为实值 函数.于是 -w,+ as dz (S,+in)(dr i ldy (1+52)dx(-+2)dy) 十1((1172)dx+(51·2)dy). 而 17
dw=a(a, dx oo, dz)+a(a, dz w, dz) da dz adz+dza de t dza dz +z ad (2m2-m2 dz∧dz 21 ax 十 (;!in:) y or E2十in2)2dA a,,3b By +ar ar 1371a52 d4 由 Green公式,显然有 (1+)dx+(-孙1+72)dy 2 (1+2)dA 及 (71+n2)dx+(t-2)dy 71+n2)dA 所以(4,1)是成立的 公式(4.1)在高维复欧氏空间也成立,在复流形上也成立,所 以这是一般形式的特例,这个一般形式也叫做 Stokes公式,公式 (4.1)是下一章的出发点之一 §1.5初等函数 在微积分中,初等函数是由二类函数以及它们的复合函数所 18