构成的.这三类函数是: (1)幂函数、多项式、有理分式及其反函数; (2)三角函数及其反函数 3)指数函数及其反函数,即对数函数 在复数域中如何定义这类断数?有些是容易做到的例如, 对于多项式只要将实变数换成复变数即可.但另外·些函数,如 sinz,当z是复数时,这是什么意义?又例如c,当z是复数时,这 又是什么意义?这些必须重新定义之,既要有确切的意义,当变数 为实数时,又要与原来的定义相一致.一个自然的想法是用级数来 定义 若y为实数,则 14.+…+2, 十分自然地去定义 i+ (iy) 十 y 2 n1 1!2!3!4! 1-2+ 5! 但是,我们知道 …三cOSy 1!3 所以就有 ety r cosy i siny. (5.1) 这就是著名的 Euler公式 19
这就建议:对于任意的复数z=x+iy,定义 ef -e(cosy t i siny). 于是,(5.1)是(5.2)的推论.(5,1)是非常重要的公式,它告诉我们 指数函数与二角函数之间是可以相环表示的由(5.1)即得 由此建议我们:对于任意的复数z=x+iy,定义 COsZ siz (5.3) 当然由此可以定义: tanz=。等等.出(5.3)立得,若y为实数, Al cos iy=chy. sin iy=i shy. 从定义(5.2)可以定义e的反函数Iogz,这可定义为:满足 c=z的复数v称为x的对数,记作Logx.同样由(5.3)叮以定义 Oz及 sinz s反函数 arc cos2及 arc sinz等 对于幂函数x",当α为整数时,其意义是明确的.对于任意的 复数α,十分自然地可定义 由(5.2)、(5.3)及(5.4}定义的函数的性质,下面还将进一步讨论 但从这里可以看出微积分中有来相不相关的二类初等函数,在 复数域中成了一*,即指数函数及其反函数,而.角雨数及其反函 数幂函数及其反函数均可以由此来長达,所以能这样做的关键的 步是公式(5,1)即 Euler公式,这是分深刻的公式,例如当y π则(5.1)成为e--1,这是联系了数学中四个重要的常数c ,1-1的…·个公式.又例如有用的 De moivre公式 (coNv i Isin)"-cosnv I i sinn v 是(5.1)的自然推论等 以下来看看这样定义的初等函数的性质. 先看指数函数,由定义(5.2)立得 (1)指数函数不取苓值,e0,这是为e|=e>0. 20
(2)对于任意x1=x1+iy,z2-x2+iy2,有ce2=eh2,这是 因为 e le2=e1(cosy, +i siny, )e:(cos y2 +i sinyi) t y2)+i sin(1 t y2))=et (3)c以2xi为周期,这是因为e2=1 (4)e在C上全纯,且(c)=e2,这是因为由(5.2), u(r, y)ecosy, v(r, y)esiny 故 t e cos 都是在C上的连续函数,由定理1,e在C上全纯且 (e y'=ur+ivr =e cosy t Ic SIny== er 以上可见在实数域中c的主要性质,在复数域中依然成立 如果将w=f(x)看作由z平面上一个区域到z平面上一个 区域的映射,映射称为单叶的,如果映射是一对一的.以下我们 论(5 (5)e2的单叶性区域,即在怎样的区域上e看作映射可以建 起一对应 设z1=x1+jy1,z2-x2+iy2使c=e成立,即 c"1(cosy, t i siny ,)e2(cosy2 t i sinyi 成立,也就是ee"ce"成立.因此,x=x,y1=yz+2kx,即 z1-z2=2kπi,其中k为整数取带域2kx<y<2(k+1),k=0, 士1,土2、…作为c的单叶区域例如取x=x+iy,0<y<2x,则 e将此带域单叶地映为C上去掉正实数轴的域E=C\{x|z≥0} 再看看指数函数的反函数,即对数函数. 对于z≠0,满足c=x的复数v称为z的对数,记作Logz, 由于指数函数的周期性,Logz是(无穷)多值函数 设 则 21
得到e=r,v=日+2kπ,k为整数所以 w= logr+(8 2kr)i 戌记作 log(=+irgz 这里Argz=0+2kx为z的幅角 对数函数有性质 Log (z1z2)- logz, f logz 这是因为Arg(x1z1)=Arga1+Argz2 由对指数函数的讨论知道:若在域D:C\{z|z≥0}上,z的幅 角取主值0<agz<2r,那末函数 k(z)=log|z+i(argz+2kπ)(k=0,士1,士2,…) 把D单叶地映为平行于实轴的带域E:2kπ<v<2(k十1)兀.它们 都是指数函数x=的反函数,且在域D内全纯,并且有=1 称w0(z)-log|z|+ Iarg2为Logz的主值分支,记作logz,即 logz= log]z|+i arg 为方便计,有时也取一丌<argz<π 再看二角函数,由定义(5.3)立得 (1)cosz,sinz在C上全纯,且 (sing) (cosz )' In2 (2)cosz,sinz以2π为周期,即 sin (z+ 2r)= sinz, cos(z+ 2)=cose. (3)cosz为偶函数,sinz为奇函数,即 sin(-x)=-sinz, cos(--z) COsA (4)和角公式成立,即 sin(z +2)=sin, coSz2 +cos,sizz, Cos(x CoSZICOSZ SInzISInz (5)cosz与sinz的基本关系式 22
sin2z+ cos2z =1, sin( 成立 (6)sinx仅在z=k处为零,cosx仅在x=+k处为苓,这 里k=0,士1,±2, 以上可见实数域上定义的sinx,cosx的主要性质,在复数域 上依然成立,但是,cosx,sinx(x为实数)与cosz,sinz(z为复数) 还是有不同之处 (7)sinz」与 Icos|是无界的.这是由于(4) Isinz 2- sin(r +iy) 2-sinxcos iy t cos rsin iyI sinrchy t icos rshy 2= shy t sinr, 这是个无界函数同样| cosz2=ch2y-sin2x,这也是个无界函数 8)sinz与cosz的单叶性域 先考察v=cosz e“十e—,这是三个函数=iz,=e2,v= +)的复合第一个函数只是旋转,故映射处处单叶.第:个 函数单叶的充要条件为:平面上的域不包含满足与2一1=2mi 的两点与1,2,这里k为整数,此即为:在z平面上的域不包含z z2=2kx的两点第三个函数单叶的充要条件为:在平面上,不包 含52=1的两点与2,在z平面上就是不包含满足条件e"e"2 1,即x1+z2-2kx的两点,因此带域0<Rez<丌就可作为cosz 的单叶区域 =iz将0<Rez<π单叶地映为0<Imz<π,{=c又将后一带 域单叶地映为上半平面Im>0,最后v=(+)又将上半平 面映为除去实轴上-∞<u≤-1和1≤<+∞的整个t平面,即 =cosz将0<Rex<r单叶地映为v平面上去掉-∞<M≤-1, ℃=0及1≤u<+∞,v=0的域 同样可以考虑 吧=s1nz,=tanz等, 23