-nr2 (cos+ isin )(cos.+ising rrr(cos( +4 )t isin(A +9)) 即r=n1r2,y=9+g,复数a的幅角不唯一,为g+2k,k为任意 整数仍为幅角.记一般的幅角为Arga,特别0≤9<2π时,称为主 幅角,记作arga 若z=x+iy,a为一固定的复数,r为一固定的实数,则 z-a|=r表示个以a为中心,r为半径的圆周;z-a<r表示 个以a为中心r为半径的圆盘,记作D)(a,r).同样,上半平面 叮以用Imz>0来表示,右半平面叮以用Rez>0来表示等等 引入坐标,得到复面C,但如何来处理无穷远点?在复变数 函数论中,我们引入·个点,叫无穷远点,记作x,以此米扩展C 对所有有限的复数a∈C,a+x=|am∞,对所有的b∠0, b 1x}二txb 0 x(a≠0)及=0等等.C中所有的点加上 ∞x”组成扩充复数平而,记作C∵.即C=CU{x}.在本书中,扩 充复数“面指的就是C‘ 要对扩允复数平面作个几何模型,在这个模型上一切扩允屮 面上的点都有个具体的長示,这就是球面表示,它是通过球极平 面投影( stereographic projection)得到的 考祭个三维空间的单位球而S,其方程为x1+x+x3-1 (一维空问的直角坐标为x1:x2,3),在S2上的每·点除了(0,0, 1)以外,我们可用复数 与之相付应,这个付应是对的,事实上,由(2.1)可得 因之得到 十2 之 1 +|z
令无穷远点∞对应「(0,0,1),就完成了球面S2上的点与扩允复 数平面C’+的点之间的一对一的对应,因之,可以把球面S2作为 扩充复数平亩C‘的代表.球面S2称为 Riemann球面.显然,3<0 的半球面村应于单位圆盘{z<1而x3>0的半球面对应于单位 圆盘的外部|z>1等等 如复平面为以x1轴为实轴,x2轴为虚轴的(x1,x2)平面,则 (2.1)有明确的几何意义 取x=x+iy,则由(2.1)得 这说明点(x,y,0)(x1,x2,x3),(0,0,1)在·条直线上.囚此,这个 对应实际上是以(0,0,1)为中心的屮心投影,将S2上的点投影到 C上,称这个投影为球极平面投影,在球面表示中,尤穷远点不再 有任何特殊了 S1.3复微分 如同普通微积分中那样,可以定义复数域上的复值函数v f(z),这甲xv均为复数.为有确切的意义,我们先限定f(x) 为单值的也可以用∈6语言来定义函数的极限,即 lim/(z) 是指任给ε>0,存在一个正数δ,对于所有的z,只要|z-a|<δ(z ≠a),恒有f()-41|<E.如果lmf(x)=f(a),则称f(x)在z 处连续 如同普通微积分中那样,可以在复平面上定义开集、闭集、集 合的连通性、紧致性等等定义复平面中的曲线为风间[a,B]上的 迮续复值函数y(t):()=x()iy(),a≤t≤B,此处x(t).y(t) 均为t的连续实函数,y(a),(B)称为曲线y(t)的端点如果y(a) y(B),则称Y(t)为闭曲线曲线的方向就是t增加的方向,如果 10
y(t)存在且连续,则称y()为光滑曲线.如果y()除去有限个t外 是连续的,在这有限个t处,()有左、佔导数,则称y(t)为分段光 滑曲线.分段光滑曲线是可求长的.若曲线y(1)仅当1=t2时, (t1)-y(t2),则称Y(t)为简单曲线,或 Jordan曲线.若γ(t)同时 是闭曲线,则称y()为简单闭曲线或 Jordan闭曲线 复“面上的一个点集D称为一个域,如果 (1)D为开集; (2)D为连通,即D中任意两点均可用元全位于D中的曲线 把它们连接起来 域D的边界记作3D.域D称为单连通的,如果D内任何简 单闭曲线的内部仍属于D.不是单连通的域称为多连通域由两条 Jordan闭曲线所围成的域是二连通域,由n条 Jordan闭曲线所围 成的域是n连通域,这些闭曲线可能退化成为一个点或一条Jor dan曲线此外,如同实数域的情形那样,可以证明 Heine- Borel定 埋、 bolzano- Weierstrass定理等等,这里只叙不证 Heine-Bore定理若A为紧集,G为A的开覆盖,则从G中 可以选出有限个开集覆盖A Bolzano-weierstrass定理任一无穷集至少有一极限点 现在来讨论复变数复值函数的导数.若=f(z),那未自然 考繁limn(x1h)-f(z),这里h为复数如果这个极限对于所 h 有的h→0都存在且相同,则称f(x)在z点叮微,记作或 (z),称为∫(x)在x点的微商或导数.如果∫(x)在其定义域上每 点都可微,则称∫(z)为其定义域上的解析函数( analytic func 1ion)或全纯函数( holomorphic function).这个定义是与普通微积 分屮微商的定义相致的.因此,复微商的四则运算、复合函数的 微商等公式也是相致的,这些公式读者可以立即写出来.但复微 商终究是在复平而上进行,所以这里有一些特殊的地力 若
)+i(z)=(x,y)+iv(x,y) 在点z0=x0+iyo处可微,则 f(z)-f(z0) 对任意途径的x→z都存在且相等特别z沿着平行于坐标轴的途 径趋于z也应存在且相等.先令z-x+iyx→x0,则 (x,y)+ ),,v(x,y1)一v(xa,y) T(E)=lim 再令z-xo+iy,yy,则 f( neu(fo.y)-u(Io,o) v(To,y)-v(ro,yo)1 y T、C 两式比较实部与虚部,即得:u,v在点(xy)处应满足 (3.1)也可以写成 y 方程(3.1)及(3.2)都称为 Cauchy-Ricmann方程,简称CR方程 CR方程为f(x)在一点z=z处可微的必要条件,但不充分,例如 f(x)-f(x+iy)-√1 在z=0处满足CR方程,但不叮微.因为取x-at∴y=Bt f(x)-f(0)f(z)√af「 0 t iB 令z0时,极限唯一但有如下的 定理!函数f()-ai在域D内全纯的充要条件是:,v 在D内有…阶连续偏做商,且满足CR方程(3.1) 证明必要性若∫(z)在z=x处可微,则满足(3.1)已证 在下章§2.3屮将证明,全纯函数的微商也是全纯函数,故f 12
lx+jx=vy-iaxy也是连续函数 充分性设,v在点z=x0+iy处有阶连续偏微商,且满 足CR方程(3.1)记a-u1(xy),B=U(xo,y),那末 a(x,y)-a(x0,y)=a(x-x0)-(y-y)+E1(|△z|), z(x,y)-v(o, y,)=B(x-ro)+a(y-yo)+ E2(4I), 其中|△z|=√(x-x)2+(y-y)2,E,∈满足 lin5(4=) E2(|△z|) 0 z!→b 4x|·0 1 将第二式乘以i与第一式相加,得到 f(x)-f(x0)=(a+iB)(x-zo)+1(|A1)+e2(|△z|), 即为 f(z)-f(z0) (a+i)=s(42|)+ie2C|△z) 所 f(z)-/(z0) /(xo)=u(ro, yo)+iu, (o, yo) 定理证毕 但是有如下的 Loosen- Menchoff定理若f(x)在开集C中连续,且 /0f ax 与。在中每点都存在,且满足CR方程(31),则f(x)在 上全纯 Lootnen. Menchoff定理说明定理1中n,v有一阶连续偏微商 的条件是不必要的.前面所举的例子,f(z)-√1xy并不满足 Loosen- Menchoff定理的条件.当然在此不可能也无必要来证明 这个定理 在下一章§2.3中将证明:如f(x)=x+i在域D内全纯,则 13