cosn. c等来近函数f(x)所以没有用第3类初等函数,即指数 函数来通近函数f(x)的原因之一是下面即将讲到的 Euler公式 指数函数可以表为二角函数当然·些重要的初等函数的 Taylor级数是熟知的.例如: +;;十a+。, (1.2) (1.3) 4!6! In(1+r)cu (-1<x≤1),(1.4) 213 11x)=1+rx/x(r-1) r(r-1)(r-2) 2! 3! (|x|<1,为实数) (1.5) 等等. 以上只是上分简单地问顾了维微积分的大概,用这种观点 来看待一维微积分,详细的叙述可参阅我与张声雷所写的《简明微 积分》中有关部分(龚昇、张声需1) 至于高维的微积分,也有相应的二个部分,即微分、积分及联 系微分与积分的微积分基本定理.只是在微分的部分有偏微分、仝 微分,而与微商相当的是 Jacob矩阵;在积分的部分有重积分、线 积分、面积分等这些都是维微分与积分的自然推疒于是也可 列出其相应的定理,这里不多叙述了.对第部分要说几句话在 高维情形下什么是微积分的基本定理?是什么定理刻画了在高维 的情形下微分、积分是·对矛盾?回答是:Gren公式、 Stokes公 式及Gaus公式 Green公式若D为ry“面上封闭曲线L围成的闭区域, 函数P(x…y)和Q(x,y)在D上有阶连续偏微商,则 Pdr+ Qdy aQ af drd (1.6) dy
Stokes公式设在空间有曲面Σ,边界是封闭曲线L,函数 P(x,y,z),Q(x,y,z),R(r,y,z)有一阶连续偏微商,则 Pdr t ody t rdz Oy az dydx +/aP_aR R ded x ax aQ aP drdy (1.7) y Gauss公式设V是空间封闭曲而Σ所围成的闭风域,函数 P(x,y,z),Q(,y,x),R(xy,z)在V上有一阶连续偏微商,则 事减d+dr+kdy(0+20+ 这三个公式都刻画了在边界上积分与在内部积分的关系,如 果用外微分形式.那末这个公式可以统一成一个公式,称为 Stokes公式要十分严谨的叙述外微分形式需要很多篇幅,但这 叮以在很多微积分的教材中找到拙著《简明微积分》就是用这种 观点来写的.在这里只能十分简单地形式地作一简介(龚昇、张声 雷1) 定义微分dn与dy的外乘积为dx∧dy,它满足卜面的规则 (1)dx∧dx=0,即两个相同微分的外乘积为零 (2)dx∧dy=- dy adr,即两个不同微分的外乘积交换次序 差一符号 当然(1)可以看成(2)的推论.由微分的外乘积乘上函数组成 的微分形式称为外徵分形式例如:若P,Q,R,A,B,C,H为x,y, 的函数,则 Pdx Qdy + rdz 为一次外微分形式(由于一次没有外乘积,与普通的微分形式是一 样的);
Ad. Ady+Bdy∧dx+Cdz∧d 为次外微分形式; Hdx adyadz 为三次外微分形式;而P,Q,R,A,BC,H称为微分形式的系数 对于外微分形式ω可以定义外微分算子d,它是这样定义的:对F 次外微分形式,即函数f,定义 a∫ d=dx+°dy+dx, 即普通的全傚分算子.对于一次外微分形式a=Pdx+ady+ Rdz,定义 da-dP Ad.+dQ ady +dr Adz. 即对PQ,R进行微分,然后进行外乘积通过外乘积运算规则, 可得 aR aQ ap aR dy∧dz az z ax. aQ a1 dx∧d y 对于二次外微分形式a= Ady a dz+ Bdz adr+Cdr∧dy也是一 样定义: da= dA Ady∧dz+dB∧ dz adx+ dc ndx ndy aa, ab ac dx∧dyAd 对于三次外微分形式a= Hdr ndy∧dz也是一样定义: do-dH∧dx∧ dy adz 可以证明这恒等于苓.如果规定ddr=ddy=ddz=0,则外微分算 子d与普通微分算子是·样的了,即对每-项进行运算,在每一项 中分别对每个因子进行运算,其余子不动,将得出的各项相 加,不同的只是外微分算子d是在运算之后进行外乘积由此立得 重要的 Poincare引理:若m为外微分形式,共系数具有二阶连 续偏微商,则ddao=0.其逆也成立,即若a是-个p次外微分形 式,月do=0,则存在一个p-1次外微分形式a,使得ω=da.有了
这些准备之后,那末Gren公式、 Stokes公式与 Gauss公式可以 统一地写成 de (1.9) 这里a为外微分形式,da为a的外微分,Σ为da的积分区域,为 封闭区域,∑表示∑的边界,表示区域行多少维数就是多少重 数积分.事实上,当a为零次外微分形式,(1.9)就是 Newton Leibniz公式;当a为·次外微分形式,在平而的情形,(1.9)就是 Grcen公式;在三维空间,(1.9)为 Stokes公式;当a为二次外微 分形式,(1.9)就是 Gauss公式.(1.9)真正刻画∫微分与积分是 对矛盾这个公式不仅对三维欧氏空间成立,而且对任意高维的 欧氏空间也成立不仅如此,对于更一般的微分流形上也是成立 的,所以(1.9)是高维空间的徵积分的基本定理.这个定理是微积 分的顶峰与终点 当然这样回顾微积分是十分粗略的,但我想说清楚思路就可 以了,不可能也不必要在此作十分仔细的叙述 复变函数论是复数域上的微积分,是普通微积分的继续,公式 (19)成为4书的出发点之一也是十分自然的事了 §1.2复数域扩充复平面及其球面表示 复数的全体组成复数域,它是实数城的扩允 在初等代数中已经知道,虚数单位具有性质=一1,将这 虚数单位与两个实数a,P用加、乘结合起来得到复数a+iB.a,B 分别称为这一复数的实部 rcal part)匀虚部( maginary part).若 记a-a十iβ,则记Rea=a,lma=β.两复数相等当且仅当实部与 虚部相等.复数的四则运算为 (a+iβ)±(y+iδ)=(a±y)+i(±0), (α!iB)(Y+i)=(ay-)+i(a+P)
若y+i≠0 a +iB (a t ip)(r-io) (ar Ba)+ i(By-a8 +iδ(+i)(一i0) 若复数a=a+i,则a-i称为a的共轭( conjugatc)复数,记 作a.于是 Rea a t u Ima 2 a十b=a+b,ab=a·b a-a2+P2,记作1a|2,而la|=√a2+称为a的绝对值.显然 b b{, b 16l (b≠0), a±b12-1a|2+|b2±2Reab,{+b≤a+1b 等等. 对于平面上.·个给定的直角坐标系来说,复数a=a+iB可以 用坐标(a,p)的点来表示,第一个坐标称为实轴,第二个坐标称为 虚轴,所在的平面称为复平面,记作C 个复数不仅可以用点来表示,而且可以用一个由原点指 向这点的向量来表示,这个复数、这个点这个向量都以同一字母 a来表示之.与通常一样,任向量作平行移劲后得到的所有的向 量都视为与原向量恒等.上是复数的加法成为向量的加法而复数 的公式往往赋有几何意义,例如a|表示向量长;a+b≤lat b表示角形两边之和大于第三边,等等 对复数也可引入极坐标(r,g),复数a=a+iβ-r(cog+ IsIng).显然,r=|a|,r称为复数a的模,φ称为复数a的輻角.如 果 d, =r,(cosg, ising),a2=r2(cos t isin u u2 =r(cosp+ isin) 8