思路点拨:根据函数符号的意义,可以知道f(g(2)表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数 值,其它同理可得 解:(1)f(2)=2 (2)f(g(2)=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1}25=20;g(f(2)=g(-23)=2×(-23)-5=51; (3)f(g(x))=(2x52×(2x-5)-3×(2x-5)-25=8x246X+40; g(f(x)=g(2x2-3x-25)=2 总结升华:求函数值时,遇到本例题中(2)3)这种类型的函数称为复合函数,一般有里 层函数与外层函数之分,如fg(x),里层函数就是g(x),外层函数就是fx),其对应关系可 以理解为x-1→g(x)-12(x),类似的且)为x-2()-1→)g(f(x),类 似的函数,需要先求出最里层的函数值,再求出倒数第二层,直到最后求出最终结果 4.求值域(用区间表示) (3)f(x)=yx2-3x+4,(4)f(x) (1)y=x2-2x+4 x+3 x+3 思路点拨:求函数的值域必须合理利用旧知识,把现有问题进行转化 解:(1)y=x2-2x+4=(x-1)+3≥3,∴值域为[3,+∞) =55≠0:值域为∞,0)(0+) +3x+3 x2-3x+4=(x 万_5 值域为 少sx2x+35/1/5 ≠0,∴y≠ x+3x+3 x+3x+3 ,∴函数的值域为(-∞ 1)U(1,+∞) 类型二、映射与函数 5.下列对应关系中,哪些是从A到B的映射,哪些不是?如果不是映射,如何修 改可以使其成为映射? (1)A=R,B=R,对应法则f:取倒数 (2)A={平面内的三角形},B={平面内的圆},对应法则f:作三角形的外接圆 3)A={平面内的圆},B={平面内的三角形},对应法则f:作圆的内接三角形 思路点拨:根据定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯 解:(1)不是映射,集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应,不满足“A中任 意”;若把A改为 A={xx≠0}或者把对应法则改为“加1”等就可成为映射 (2)是映射,集合A中的任意一个元素(三角形),在集合B中都有唯一的元素(该三 角形的外接圆)与 之对应,这是因为不共线的三点可以确定一个圆
思路点拨：根据函数符号的意义，可以知道 f(g(2))表示的是函数 f(x)在 x=g(2)处的函数 值，其它同理可得． 解：(1)f(2)=2×2 2 -3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1； (2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2 -3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51； (3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2 -3×(2x-5)-25=8x2 -46x+40； g(f(x))=g(2x2 -3x-25)=2×(2x2 -3x-25)-5=4x2 -6x-55. 总结升华：求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里 层函数与外层函数之分，如 f(g(x))，里层函数就是 g(x)，外层函数就是 f(x)，其对应关系可 以理解为 ，类似的 g(f(x))为 ，类 似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果. 4. 求值域(用区间表示)： (1)y=x2 -2x+4； . 思路点拨：求函数的值域必须合理利用旧知识，把现有问题进行转化. 解：(1)y=x2 -2x+4=(x-1)2+3≥3，∴值域为[3，+∞)； (2) ； (3) ； (4) ，∴函数的值域为(-∞， 1)∪(1，+∞). 类型二、映射与函数 5. 下列对应关系中，哪些是从 A 到 B 的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修 改可以使其成为映射? (1)A=R，B=R，对应法则 f：取倒数； (2)A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则 f：作三角形的外接圆； (3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则 f：作圆的内接三角形． 思路点拨：根据定义分析是否满足“A 中任意”和“B 中唯一”． 解：(1)不是映射，集合 A 中的元素 0 在集合 B 中没有元素与之对应，不满足“A 中任 意”；若把 A 改为 A={x|x≠0}或者把对应法则改为“加 1”等就可成为映射； (2)是映射，集合 A 中的任意一个元素(三角形)，在集合 B 中都有唯一的元素(该三 角形的外接圆)与 之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；
(3)不是映射,集合A中的任意一个元素(圆),在集合B中有无穷多个元素(该圆的 内接三角形有无 数个)与之对应,不满足“B中唯一”的限制:;若将对应法则改为:以该圆上某 定点为顶点作正 角形便可成为映射. 总结升华:将不是映射的对应改为映射可以从出发集A、终止集B和对应法则f三个角 度入手 举一反三: 【变式1】判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射? ①A={1,2,3,4,B=(3,4,5,6,7,8,9,对应法则x→2x+1 ②A=N,B={0,1},对应法则fx→x除以2得的余数 ③A=N,B={0,1,2},f:x→x被3除所得的余数 111 Y={1, ④设X={0,1,2,3,4}, 23,f:x→x取倒数 思路点拨:判断是否构成映射应注意:①A中元素的剩余;②“多对一”“一对一”构 成,而“一对多”不构成映射 解:①构成映射,②构成映射,③构成映射,④不构成映射,0没有象 【变式2】已知映射f:A→B,在f的作用下,判断下列说法是否正确? (1)任取x∈A,都有唯一的y∈B与x对应 (2)A中的某个元素在B中可以没有象 (3)A中的某个元素在B中可以有两个以上的象 (4)A中的不同的元素在B中有不同的象 (5)B中的元素在A中都有原象 (6B中的元素在A中可以有两个或两个以上的原象 答:(1)、(6)的说法是正确的,(2)、(3)、(4)、(5)说法不正确 【变式3】下列对应哪些是从A到B的映射?是从A到B的一一映射吗?是从A到B 的函数吗? (1)A=N,B={1,-1},f:x→y=(-1); (2)A=N,B=N+,f:x→y=x-3|; f:x→y= 1+z (3)A=R,B=R (4)A=z,B=N,f:x→y=x; (5A=N,B=Z,f:x→y=x; (6)A=N,B=N,f: 答:(1)、(4)、(5)、(6)是从A到B的映射也是从A到B的函数,但只有(6)是从A到B 的一一映射;(2)、(3)不是从A到B的映射也不是从A到B的函数
(3)不是映射，集合 A 中的任意一个元素(圆)，在集合 B 中有无穷多个元素(该圆的 内接三角形有无 数个)与之对应，不满足“B 中唯一”的限制；若将对应法则改为：以该圆上某 定点为顶点作正 三角形便可成为映射． 总结升华：将不是映射的对应改为映射可以从出发集 A、终止集 B 和对应法则 f 三个角 度入手． 举一反三： 【变式 1】判断下列两个对应是否是集合 A 到集合 B 的映射？ ①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则 ②A=N*，B={0，1}，对应法则 f:x→x 除以 2 得的余数； ③A=N，B={0，1，2}，f：x→x 被 3 除所得的余数； ④设 X={0，1，2，3，4}， 思路点拨：判断是否构成映射应注意：①A 中元素的剩余；②“多对一”“一对一”构 成，而“一对多”不构成映射. 解：①构成映射，②构成映射，③构成映射，④不构成映射，0 没有象. 【变式 2】已知映射 f：A→B，在 f 的作用下，判断下列说法是否正确？ (1)任取 x∈A，都有唯一的 y∈B 与 x 对应； (2)A 中的某个元素在 B 中可以没有象； (3)A 中的某个元素在 B 中可以有两个以上的象； (4)A 中的不同的元素在 B 中有不同的象； (5)B 中的元素在 A 中都有原象； (6)B 中的元素在 A 中可以有两个或两个以上的原象. 答：(1)、(6)的说法是正确的，(2)、(3)、(4)、(5)说法不正确. 【变式 3】下列对应哪些是从 A 到 B 的映射？是从 A 到 B 的一一映射吗？是从 A 到 B 的函数吗？ (1)A=N，B={1，-1}，f：x→y=(-1)x； (2)A=N，B=N+，f：x→y=|x-3|； (3)A=R，B=R， (4)A=Z，B=N，f：x→y=|x|； (5)A=N，B=Z，f：x→y=|x|； (6)A=N，B=N，f：x→y=|x|. 答：(1)、(4)、(5)、(6)是从 A 到 B 的映射也是从 A 到 B 的函数，但只有(6)是从 A 到 B 的一一映射；(2)、(3)不是从 A 到 B 的映射也不是从 A 到 B 的函数