个亼收集整理_仅供参考学习 专题函数及其基本性质 1知识积累 知识点一、函数的概念1.函数的定义 设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称fA→B为从集合A到集合B的一个函数 记作:y=f(x),x∈A 其中,ⅹ叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数 值的集合{f(x)xA}叫做函数的值域 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域由于 值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数 相等(或为同一函数): ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关 区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示 区间表示: (x|a<x<b}=(a,b) {xa≤x≤b}=a,b (x|a<x≤b)=(a,b](x1a≤x<b=[a,b (x|x≤b)=(∞,b] x|a≤x)=[a,+) 知识点二、函数的表示法1.函数的三种表示方法: 解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.优点:简明,给自变量求函数值 图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系.优点:直观形象,反应变化趋势 列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系.优点:不需计算就可看出函数值 分段函数: 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来, 并分别注明各部分的自变量的取值情况 知识点三、映射与函数1映射定义: 设A、B是两个非空集合,如果按照某个对应法则f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都 有唯一的元素和它对应,这样的对应叫做从A到B的映射;记为f:A→B 象与原象:如果给定一个从集合A到集合B的映射,那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a 的象,a叫做b的原象 注意:(1)A中的每一个元素都有象,且唯一;(2)B中的元素未必有原象,即使有,也未必唯 (3)a的象记为fa) 2.函数: 设A、B是两个非空数集,若f:A→B是从集合A到集合B的映射,这个映射叫做从集合A到集合 B的函数,记为y=f(x) 注意:(1)函数一定是映射,映射不一定是函数:(2)函数三要素:定义域、值域、对应法则 (3)B中的元素未必有原象,即使有原象,也未必唯一;(4)原象集合=定义域,值域=象集合 规律方法指导1函数定义域的求法 1)当函数是以解析式的形式给出时,其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合具体 地讲,就是考虑分母不为零,偶次根号的被开方数、式大于或等于零,零次幂的底数不为零以及我们在后 0/10
个人收集整理 仅供参考学习 0 / 10 专题函数及其基本性质 1.知识积累 知识点一、函数的概念 1．函数的定义 设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数. 记作：y=f(x)，x A． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数 值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于 值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数 相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示． 区间表示： {x|a≤x≤b}=[a，b]； ； ； . 知识点二、函数的表示法 1．函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来， 并分别注明各部分的自变量的取值情况． 知识点三、映射与函数 1.映射定义： 设 A、B 是两个非空集合，如果按照某个对应法则 f，对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中都 有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从 A 到 B 的映射；记为 f：A→B. 象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象，a 叫做 b 的原象. 注意：(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一； (3)a 的象记为 f(a). 2.函数： 设 A、B 是两个非空数集，若 f：A→B 是从集合 A 到集合 B 的映射，这个映射叫做从集合 A 到集合 B 的函数，记为 y=f(x). 注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则； (3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合. 三、规律方法指导 1.函数定义域的求法 (1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体 地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后
个亼收集整理_仅供参考学习 面学习时碰到的所有有意义的限制条件 (2)当函数是由实际问题给出时,其定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要有实际意义 (3)求函数的定义域,一般是转化为解不等式或不等式组的问题,注意定义域是一个集合,其结果必须 用集合或区间来表示 2如何确定象与原象 对于给出原象要求象的问题,只需将原象代入对应关系中,即可求出象对于给出象,要求原象的问题 可先假设原象,再代入对应关系中得已知的象,从而求出原象;也可根据对应关系,由象逆推出原象 3函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题,虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后,值域就完全 确定了,但求值域还是特别要注意讲究方法,常用的方法有 观察法:通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域,或利用函数的图象的最高点 和"最低点”,观察求得函数的值域 配方法:对二次函数型的解析式可先进行配方,在充分注意到自变量取值范围的情况下,利用求二次 函数的值域方法求函数的值域 判别式法:将函数视为关于自变量的二次方程,利用判别式求函数值的范围,常用于一些”分式"函数 等:此外,使用此方法要特别注意自变量的取值范围 换元法:通过对函数的解析式进行适当换元,将复杂的函数化归为几个简单的函数,从而利用基本函 数的取值范围来求函数的值域 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式,除了上述常用方法外,还有最值法、数形结合法等总之, 求函数的值域关键是重视对应法则的作用,还要特别注意定义域对值域的制约 2.重点点拨 类型一、函数概念1.下列各组函数是否表示同一个函数? (2=2+18()4x+4+121()0x58)=x一1 f(x)=x-1与g(x) 1(x≥1) 1-x<1)(4)f(x)=x2-2x与g()=2-解:(x)+2x+1, f(x)与5g(x)对应关系不同,因此是不同的函数 (2)(x)=x-1(x≠0,f(x)与g的定义域不同,因此是不同的函数 x-1(x≥1) f(x)= f(x)与g(x) x(x< 的定义域相同,对应关系相同,因此是相同的函数 (4)f(x)与g( 定义域相同,对应关系相同,自变量用不同字面表示,仍为同一函数 总结升华:函数概念含有三个要素,即定义域,值域和对应法则f,其中核心是对应法则了,它是函数关 系的本质特征只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一函数,换言之就是: (1)定义域不同,两个函数也就不同 (2)对应法则不同,两个函数也是不同的 (3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯 地确定函数的对应法则 1/10
个人收集整理 仅供参考学习 1 / 10 面学习时碰到的所有有意义的限制条件. (2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义. (3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须 用集合或区间来表示. 2.如何确定象与原象 对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题， 可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象. 3.函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全 确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点" 和"最低点"，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次 函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数 等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函 数的取值范围来求函数的值域. 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之， 求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.文档来自于网络搜索 2.重点点拨 类型一、函数概念 1.下列各组函数是否表示同一个函数？ (1) (2) (3) (4) 解 ： (1) ， 对应关系不同，因此是不同的函数； (2) 的定义域不同，因此是不同的函数； (3) 的定义域相同，对应关系相同，因此是相同的函数； (4) 定义域相同，对应关系相同，自变量用不同字面表示，仍为同一函数. 总结升华：函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则 ，其中核心是对应法则 ，它是函数关 系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是： (1)定义域不同，两个函数也就不同； (2)对应法则不同，两个函数也是不同的. (3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯 一地确定函数的对应法则
个亼收集整理_仅供参考学习 举一反三:【变式1】判断下列命题的真假 (l)y=x-1与x+1是同一函数:(2)y=x与y=是同一函数 x(x≥0) 3y=(x)与y=(2)2 是同一原数,f()=1x2+x(x<0与x)是同一函数 2求下列函数的定义域(用区间表示) f(x)= f(x)=√2x-9 f(x)=√h-x+ f(x) 解:(1) x2-2的定义域为x2≠0 ≠土√2:定义域为(0,-√2)∪(-2,√2)∪(2,+) f()=√x-9,由2x-920得,x25定抄9 ≥0[x≤1 f(x)=√1-x+ 由 x+4>0 定义域为(41 总结升华:使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零;②偶次根式中,被开方数非负当函数解 析式是由多个式子构成时,要使这多个式子对同一个自变量x有意义,必须取使得各式有意义的各个不等 式的解集的交集,因此,要列不等式组求解 举一反三:【变式1】求下列函数的定义域: f(x)=--√+3 (3122y1x+2/+、2-A 总结升华:小结几类函数的定义域 (1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R (2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 (3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合; (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合 (即求各集合的交集) (5)满足实际问题有意义 3已知函数x=3x245x2,求f3,(V2),a,fa+ 解:13)3×325×322+152=0f(√=3x(V2)+5x(22=45E f(a)=3a2+5a-2.f(a+1)=3x(a+12+5(a+1-2=3a2+11g+6 2/10
个人收集整理 仅供参考学习 2 / 10 举一反三：【变式 1】判断下列命题的真假 (1)y=x-1 与 是同一函数；(2) 与 y=|x|是同一函数； (3) 是同一函数；(4) 与 g(x)=x2 -|x|是同一函数.文档来自于网络搜 索 2.求下列函数的定义域(用区间表示). (1) ； (2) ； (3) . 解：(1) 的定义域为 x 2 -2≠0， ； (2) ； (3) . 总结升华：使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解 析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量 x 有意义，必须取使得各式有意义的各个不等 式的解集的交集，因此，要列不等式组求解. 举一反三：【变式 1】求下列函数的定义域： (1) ； (2) ； (3) . 文档来自于网络搜索 总结升华：小结几类函数的定义域： (1)如果 f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集 R； (2)如果 f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合； (3)如果 f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合； (4)如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； (即求各集合的交集) (5)满足实际问题有意义. 3.已知函数 f(x)=3x2+5x-2，求 f(3)， ，f(a)，f(a+1). 解：f(3)=3×3 2+5×3-2=27+15-2=40； ； ；
个亼收集整理_仅供参考学习 f(x)=√x+3+ 举一反三:【变式1】已知函数 x+2(1)求函数的定义域:(2)求f3),3的值 (3)当a>0时,求f(a)×f(a-1)的值 【变式2】已知f(x)=2x2-3x-25,g(x)2x-5,求:(1)(2),g(2);(2)f(g(2),g(f(2);(3)f(g(x),g(fx) 总结升华:求函数值时,遇到本例题中(2)3)(这种类型的函数称为复合函数,一般有里层函数与外层函数 之分,如f(g(x),里层函数就是g(x),外层函数就是f(x),其对应关系可以理解为 x-1→g(x)-)(g(x),类似的gx)为x→(x)-→g(),类似的函数,需要先求出 最里层的函数值,再求出倒数第二层,直到最后求出最终结果 (2)y 4.求值域(用区间表示):(1)y=x2-2x+4; x+3:(3)(x)=√x2-3x+4,(4)(x)= x+3 解:(1)y=x2x+4(X1)+3≥3,∴值域为[3,+∞):(2)x+3x+3×0:值域为(∞.0)(O,+o =√x2-3x+4=(x-3)2+2 值域为 x-2x+3-5 ≠0,:y≠1 (4) 3x+3 x+3x+3 ,∴函数的值域为(-∞,1)∪(1,+∞) 类型二、映射与函数5.下列对应关系中,哪些是从A到B的映射,哪些不是?如果不是映射,如 何修改可以使其成为映射? (1)A=R,B=R,对应法则f:取倒数 (2)A={平面内的三角形},B={平面内的圆},对应法则f:作三角形的外接圆 (3)A=(平面内的圆},B={平面内的三角形},对应法则f:作圆的内接三角形 解:(1)不是映射,集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应,不满足“A中任意”;若把A改为 A={xx≠0}或者把对应法则改为“加1”等就可成为映射 (2)是映射,集合A中的任意一个元素(三角形),在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应, 这是因为不共线的三点可以确定一个圆 不是映射,集合A中的任意一个元素(圆),在集合B中有无穷多个元素(该圆的内接三角形有无数个)与 之对应,不满足“B中唯一”的限制:若将对应法则改为:以该圆上某定点为顶点作正三角形便可成为映 射 举一反三:【变式1】判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射? ①A=(1,2,3,4},B=(3,4,5,6,7,8,9},对应法则∫x→2x+1②AN,B=(0,1,对应法 则fx→x除以2得的余数 ③A=N,B={0,1,2},f:x→x被3除所得的余数 y=(,2,1.1,:x→那取倒数 ④设X={0,1,2,3,4}, 3/10
个人收集整理 仅供参考学习 3 / 10 举一反三：【变式 1】已知函数 .(1)求函数的定义域；(2)求 f(-3)， 的值； (3)当 a＞0 时，求 f(a)×f(a-1)的值. 文档来自于网络搜索 【变式 2】已知 f(x)=2x2 -3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2))，g(f(2))； (3)f(g(x))，g(f(x)) 文档来自于网络搜索 总结升华：求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数 之分，如 f(g(x)) ， 里 层 函 数 就 是 g(x) ， 外 层 函 数 就 是 f(x) ， 其 对 应 关 系 可 以 理 解 为 ，类似的 g(f(x))为 ，类似的函数，需要先求出 最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果. 4. 求值域(用区间表示)： (1)y=x2 -2x+4； . 解：(1)y=x2 -2x+4=(x-1)2+3≥3，∴值域为[3，+∞)；(2) ； (3) ； (4) ，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞). 类型二、映射与函数 5. 下列对应关系中，哪些是从 A 到 B 的映射，哪些不是?如果不是映射，如 何修改可以使其成为映射? (1)A=R，B=R，对应法则 f：取倒数； (2)A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则 f：作三角形的外接圆； (3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则 f：作圆的内接三角形． 解：(1)不是映射，集合 A 中的元素 0 在集合 B 中没有元素与之对应，不满足“A 中任意”；若把 A 改为 A={x|x≠0}或者把对应法则改为“加 1”等就可成为映射； (2)是映射，集合 A 中的任意一个元素(三角形)，在集合 B 中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应， 这是因为不共线的三点可以确定一个圆；文档来自于网络搜索 (3)不是映射，集合 A 中的任意一个元素(圆)，在集合 B 中有无穷多个元素(该圆的内接三角形有无数个)与 之对应，不满足“B 中唯一”的限制；若将对应法则改为：以该圆上某定点为顶点作正三角形便可成为映 射． 举一反三：【变式 1】判断下列两个对应是否是集合 A 到集合 B 的映射？ ①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则 ②A=N*，B={0，1}，对应法 则 f:x→x 除以 2 得的余数； ③A=N，B={0，1，2}，f：x→x 被 3 除所得的余数； ④设 X={0，1，2，3，4}
个亼收集整理_仅供参考学习 【变式2】已知映射f:A→B,在f的作用下,判断下列说法是否正确? (1)任取x∈A,都有唯一的y∈B与x对应 (2)A中的某个元素在B中可以没有象; (3)A中的某个元素在B中可以有两个以上的象 (4)A中的不同的元素在B中有不同的象 (5B中的元素在A中都有原象 (6B中的元素在A中可以有两个或两个以上的原象 【变式3】下列对应哪些是从A到B的映射?是从A到B的一一映射吗?是从A到B的函数吗? (1)A=N,B={1,-1},f:x→y=(-1); (2)A=N, B=N+, f: xy=x-3: f:z→y= 1+z (3)A=R,B=R, (4)A-Z, B=N, f:x-y=x]: (5A=N,B=Z,f:x→y=N (6A=N,B=N,f:x→y=x 已知A=R,B={(x,y)x,y∈R},f:A→B是从集合A到集合B的映射,f:x→(x+1,x2+1),求 A中的元素√2的象,B中元素24的原象 解:/A→的映射关系为x→)(x+1x2+D∴A中元素√2的象为(√2+1,(2)+1)=(2+13 3 )∈B,设 故24)的原象放 举一反三:【变式1】设f:A→B是集合A到集合B的映射,其中 (1)A=(xx>0},BR,x-x2-2×1,则A中元素1+√2的象及B中元素1的原象分别为什么? (2)A=B={(x,y)∈R,y∈R},f:(x,y)→(xy,x+y),则A中元素(1,3)的象及B中元素(l,3)的原象分 别为什么? 类型三、函数的表示方法 求函数的解析式(1)若f(2x-1)=x2,求f(x):(2)若fx+1)=2x2+1,求fx ()=(2+1 x+1 Jf(x)=() 解:(1)∵(2x-1)=x2,∴令t2x-1,则 (2)f(x+1)=2x2+1,由对应法则特征可得:f(x)=2(x-1)2+1即:f(x)=2x24x+3 f(x) (x≥0) 举一反三:【变式1】()已知f(x+1)=x2+4x+2,求f(x):(2)已知 2x+6(x<0) 求ff-1) 总结升华:求函数解析式常用方法 4/10
个人收集整理 仅供参考学习 4 / 10 【变式 2】已知映射 f：A→B，在 f 的作用下，判断下列说法是否正确？ (1)任取 x∈A，都有唯一的 y∈B 与 x 对应； (2)A 中的某个元素在 B 中可以没有象； (3)A 中的某个元素在 B 中可以有两个以上的象； (4)A 中的不同的元素在 B 中有不同的象； (5)B 中的元素在 A 中都有原象； (6)B 中的元素在 A 中可以有两个或两个以上的原象. 文档来自于网络搜索 【变式 3】下列对应哪些是从 A 到 B 的映射？是从 A 到 B 的一一映射吗？是从 A 到 B 的函数吗？ (1)A=N，B={1，-1}，f：x→y=(-1)x； (2)A=N，B=N+，f：x→y=|x-3|； (3)A=R，B=R， (4)A=Z，B=N，f：x→y=|x|； (5)A=N，B=Z，f：x→y=|x|； (6)A=N，B=N，f：x→y=|x|.文档来自于网络搜索 6. 已知 A=R，B={(x，y)|x，y R}，f：A→B 是从集合 A 到集合 B 的映射，f：x→(x+1，x 2+1)，求 A 中的元素 的象，B 中元素 的原象. 解： ∴A 中元素 的象为 故 . 举一反三：【变式 1】设 f：A→B 是集合 A 到集合 B 的映射，其中 (1)A={x|x＞0}，B=R，f：x→x 2 -2x-1，则 A 中元素 的象及 B 中元素-1 的原象分别为什么？ (2)A=B={(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x-y，x+y)，则 A 中元素(1，3)的象及 B 中元素(1，3)的原象分 别为什么？文档来自于网络搜索 类型三、函数的表示方法 7. 求函数的解析式(1)若 f(2x-1)=x2，求 f(x)；(2)若 f(x+1)=2x2+1，求 f(x). 解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令 t=2x-1，则 ； (2)f(x+1)=2x 2+1，由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1)2+1 即：f(x)=2x2 -4x+3. 举一反三：【变式 1】(1) 已知 f(x+1)=x2+4x+2，求 f(x)；(2)已知： ，求 f[f(-1)]. 总结升华：求函数解析式常用方法：