分配格判别定理 定理1设L为模格,L为分配格当且仅当 若ab,C∈L有 (a入b)y(b∧c)(c)=(Nvb)∧(bvc)∧(cva) 注:一般格成立不等式 (a入b)y(b∧c)(a)≤(Nvb)∧(bvc)∧(cva) 定理2设L为模格,L为分配格当且仅当L不含 有与钻石格同构的子格
6 定理 1 设 L 为模格，L 为分配格当且仅当 若∀a,b,c∈L 有 (a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a) = (a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) 注：一般格成立不等式 (a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a) ≼ (a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) 定理 2 设 L 为模格，L 为分配格当且仅当 L 不含 有与钻石格同构的子格. 分配格判别定理
判别定理一的证明 证:“<”Va,b,C∈L a入(bvc)=aA(b)(bvc)∧(cva)(吸收律) =(aAbb^cMcA)∧(等式替代) =(a∧b)(b^cN√ca)∧a)(模律ab≤a) (aAb)((c∧a(bAC)入) (交换律) =(a入b)v(cAa)(b∧CAm) (模律) (aAbvaAc
7 证：“⇐” ∀a,b,c∈L a∧(b∨c) = a∧(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) （吸收律） = ((a∧b)∨((b∧c)∨(c∧a)))∧a （等式替代） = (a∧b)∨(((b∧c)∨(c∧a))∧a ) （模律 a∧b≼a） = (a∧b)∨(((c∧a)∨(b∧c))∧a ) （交换律） = (a∧b)∨(c∧a)∨(b∧c∧a) （模律） = (a∧b)∨(a∧c) 判别定理一的证明
判别定理一的证明(续) ∧bv(b∧cyV(c I(abb)∧(ab)vc)v(cAa)(分配律) =[∧(vc)( bvdv(cAa) (吸收、分配律) =(b∧vcv(ca) (吸收律) (bvc)∧(bva)∧(acvc)∧(acva)(分配律) (NVb)∧(bve)(cva) (交换、幂等律)
8 “⇒” (a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a) = [((a∧b)∨b)∧((a∧b)∨c)]∨(c∧a) (分配律) = [b∧(a∨c)∧(b∨c)]∨(c∧a) (吸收、分配律) = (b∧(a∨c))∨(c∧a) (吸收律) = (b∨c)∧(b∨a)∧(a∨c∨c)∧(a∨c∨a) (分配律) = (a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) (交换、幂等律) 判别定理一的证明（续）
判别定理二的证明 充分性.假设模格L不是分配格,则彐ab,c∈L使得 (a入b)v(bAc)y(cA)<(Nb)∧(bc)∧(cva) u=(abv(bAcV(cAa) v=(vb)入(bvc)/(cva) x=Uv(aAv y=Wv(b∧v z=LV(C∧v 则可以证明L,vxyz构成钻石格. 注:所有的链为分配格,4元以下的格为分配格
9 充分性. 假设模格 L 不是分配格，则∃a,b,c∈L 使得 (a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a) ≺ (a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) 令 u = (a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a) v = (a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) x = u∨(a∧v) y = u∨(b∧v) z = u∨(c∧v) 则可以证明 u, v, x, y, z 构成钻石格. 注：所有的链为分配格，4 元以下的格为分配格. 判别定理二的证明 u v x y z