解法需经过变量代换化为线性微分方程 令z=y2" (1-n)P(x)d (x)1-m)e (1-n)P(x)dx dx +c) (6)全微分方程 午形如P(x,y)dx+Q(x,y)=0 其中d(x,y)=P(xy)tx+9(x,y)y 內区国回
解法 需经过变量代换化为线性微分方程． , 1 n z y − 令 = ( ( )(1 ) ). (1 ) ( ) (1 ) ( ) 1 + − = = − − − − e Q x n e dx c y z n P x d x n P x d x n P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 其中 du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy 形如 (6) 全微分方程
注意:全微分方程sOP_a0 av ax 解法应用曲线积分与路径无关 u(x,y)=P(x,y)dx+@(,y)dy I2(x, y)dy+ P(x, yo)dx 黑通解为u(x,y)=c. 用直接凑全微分的方法 內区国回
x Q y P = 注意： 全微分方程 解法 应用曲线积分与路径无关. = + y y x x u x y P x y dx Q x y dy 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) , 0 0 Q x y dy P x y0 dx x x y y = + u(x, y) = c . 用直接凑全微分的方法. 通解为
(7)可化为全微分方程 c形如P(x,y)dx+(x,y)=0 非全微分方程 aP 80 ay ax 若p(x,y)≠0连续可微函数,且可使方程 (x,y)P(x,y)kx(x,y)Q(x,y)y=0成为全 A微分方程则称(x,y)为方程的积分因子 四
(7) 可化为全微分方程 ( ). x Q y P 非全微分方程 形如 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 若( x, y) 0连续可微函数，且可使方程 (x, y)P(x, y)dx + (x, y)Q(x, y)dy = 0成为全 微分方程.则称(x, y)为方程的积分因子
公式法: 若 1 aP 80 o ay ax )=f(x)则p(x)=e f(x)d 若 1 a0 aP )=g(y)则p(y) g(y)dy P ar ay n观察法 熟记常见函数的全微分表达式,通过观察直接找出 积分因子 內区国回
公式法: ( ) 1 x Q y P Q − 若 = f (x) ( ) ; ( ) = f x dx 则 x e ( ) 1 y P x Q P − 若 = g( y) ( ) . ( ) = g y dy 则 y e 观察法: 熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出 积分因子．
常见的全微分表达式 xdy-ydx xdx+ ydy= 2 xd小-ydhx arcto J xdy+ yde d in xy) 十 xy xdx+ ydy ( dIn(x2+y2) t +t y 2 xdy-yax 22 In 牛可选用积分因子、1,1,1,1,x,”等 xt x 內区国回
常见的全微分表达式 + + = 2 2 2 x y xdx ydy d = − x y d x xdy ydx 2 = + − x y d arctg x y xdy ydx 2 2 d( xy) xy xdy ydx = ln + = + + + ln( ) 2 1 2 2 2 2 d x y x y xdx ydy − + = − − x y x y d x y xdy ydx ln 2 1 2 2 可选用积分因子 , , . 1 , 1 , 1 , 1 2 2 2 2 2 2 2 等 x y y x x + y x x y x + y