通解如果微分方程的解中含有任意常数,并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的 王解叫做微分方程的通解 特解确定了通解中的任意常数以后得到的解 平叫做微分方程的特解 初始条件用来确定任意常数的条件 上初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题, 中叫初值问题 四回
通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解． 特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解． 初始条件 用来确定任意常数的条件. 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
2、一阶微分方程的解法 (1)可分离变量的微分方程 形如g(y)ly=f(x)d 分离变量法 庄解法∫幻)小∫(xk 王(2)齐次方程形如=( dx 解法作变量代换=y 內区国回
形如 g( y)dy = f (x)dx (1) 可分离变量的微分方程 解法 g( y)dy = f (x)dx 分离变量法 2、一阶微分方程的解法 ( ) x y f dx dy (2) 齐次方程 形如 = 解法 x y 作变量代换 u =
王()可化为齐次的方程 压形d=八 ax+by+c dx a+ b,y+C 当c=c1=0时,齐次方程否则为非齐次方程 庄解法令x=x+ y=Y+k,化为齐次方程 (其中h和k是待定的常数) 內区国回
( ) 1 1 1 a x b y c ax by c f dx dy + + + + 形如 = 当c = c1 = 0时, 齐次方程． ， 令 y Y k x X h = + = + , （其中h和k是待定的常数） 否则为非齐次方程． (3) 可化为齐次的方程 解法 化为齐次方程．
(4)一阶线性微分方程 形如小 +P(x)y=o(x) d 当Q(x)≡0,上方程称为齐次的 庄当0(x)0,上方程称为非齐次的 解法齐次方程的通解为y=CeJm(h (使用分离变量法) 內区国回
P(x) y Q(x) dx dy 形如 + = (4) 一阶线性微分方程 当Q(x) 0, 上方程称为齐次的． 当Q(x) 0, 上方程称为非齐次的. 齐次方程的通解为 . ( ) = − P x dx y Ce （使用分离变量法） 解法
汪非齐次徽分方程的通解为 P(r)d y=「g(x)ax+Cle (常数变易法) (5)伯努利( Bernoul方程 形如+P(x)y=Q(x)y(n≠0,1) dx 当n=0,时,方程为线性微分方程 王当n≠0时,方程为非线性微分方程 內区国回
非齐次微分方程的通解为 + = − P x dx P x dx y Q x e dx C e ( ) ( ) [ ( ) ] （常数变易法） (5) 伯努利(Bernoulli)方程 n P x y Q x y dx dy 形如 + ( ) = ( ) (n 0,1) 当n = 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程