19-8 维势阱势垒 (一)、一维无限深势阱中的粒子 质量为m的粒子只能在0<xa的区域内自由运动, 势能函数为: 「0(0<x<a) 1∞(x≤0或x≥a) 定态薛定谔方程为: 九2d x=o x= a 2m dx y=Ey (0<X<a) 当x<0和x>a时,y(x)=0 (下一页)
19-8 三、 一维势阱 势垒 （一）、一维无限深势阱中的粒子 质量为m的粒子只能在 0<x<a 的区域内自由运动， 势能函数为： = ( 0 ) 0 (0 ) ( ) x x a x a V x 或 8 8 x = 0 x = a V (x ) 定态薛定谔方程为： E (0 x a) dx d 2m 2 2 2 − = 当 x < 0和 x > a 时， (x) = 0 （下一页）
求解定态薛定谔方程 h" ay=ey (osX<a 2m dx d y(x) 2mE 十 d x h2y(x)=0(0<X<a) 令k=√2mE/h2 dy( 代入薛定谔方程得: d2+k2y(x)=0 此方程的通解为: y(x)=Asin kx+ bcos kx 由于阱壁无限高,所以v(0)=0y(a)=0 Asin(0)+Bcos(0)=0(1) Asin (a)+ bcos(a)=0(2) (下一页)
求解定态薛定谔方程 (x) 0 (0 x a) 2mE dx d (x) 2 2 2 + = E (0 x a) dx d 2m 2 2 2 − = 令 2 k = 2mE 代入薛定谔方程得： k (x) 0 dx d (x) 2 2 2 + = 此方程的通解为： (x) = Asinkx + Bcoskx 由于阱壁无限高，所以 (0) = 0 (a) = 0 Asin(0) + Bcos(0) = 0 (1) Asin(a) + Bcos(a) = 0 (2) （下一页）
Asin(0)+Bco(0)=0(1) Asin (a)+bcos(a)=0(2) 由式(1)得B=0波函数为:y(x)= A sin kx 由式(2)得 Asin ka=0于是 ka=n丌,k=n/a(n=1,2,3…) 即:k=2mE/h2=nz/a 由此得到粒子的能量E n h n2,n=1,2,3 2ma (下一页)
由式（1）得 B = 0 波函数为： Asin(0) + Bcos(0) = 0 (1) Asin(a) + Bcos(a) = 0 (2) (x) = Asinkx 由式（2）得 Asinka = 0 于是 ka = n , k = n a(n = 1, 2,3) k = mE = n a 2 即: 2 由此得到粒子的能量 En = )n , n = 1, 2, 3 2ma E ( 2 2 2 2 n （下一页）
2 丌2h E n 9 1。2.3 2 m E称为本问题中能量E的本征值 势阱中的粒子其能量是量子化。 当n=1,粒子具有最低能量E1 ,=h2 h 称为基态能级 2ma 8ma En=n2E1m叫作量子数(主量子数) (下一页)
= )n , n = 1, 2, 3 2ma E ( 2 2 2 2 n En 称为本问题中能量E 的本征值. 势阱中的粒子其能量是量子化。 当 n = 1, 粒子具有最低能量 E1 2 2 2 1 2ma E = 1 2 En = n E n叫作量子数（主量子数） 2 称为基态能级 2 8ma h = （下一页）
E =4E=E4 势阱中粒子 能 级 n=3E=E n=2E=E n=1,E=E1 a (下一页)
E E 1 n = 1 , = o a x E 势阱中粒子 能级图 E E 2 n = 2 , = E E 3 n = 3 , = E E 4 n = 4 , = （下一页）