《大学物理学》课程电子教案（PPT教学课件）第十九章 量子物理（19.9）氢原子的量子力学处理方法（1/2）

万法 (下一页)

量子力学处理方法 氢原子的 （下一页）

19-9*氢原子的量子力学处理方法 、氢原子的薛定谔方程 氢原子带电系统的势能为:V 4兀cr 其定态薛定谔方程为: 2(e Vv+:2( =0 方 4兀Er 用球坐标(r,q)代替直角坐标(x,y,z) x=rsin 6 cos y=rsin (sin p z=rcos e (r:电子到核的距离) (下一页)

19-9﹡ 氢原子的量子力学处理方法 一、氢原子的薛定谔方程 氢原子带电系统的势能为： 其定态薛定谔方程为： 用球坐标 (r, θ, φ ) 代替直角坐标（x, y, z) r e V 0 2 4  = − ) 0 4 ( 2 0 2 2 2  + +  =    r e E m  （下一页） x = rsin  cos y = rsin  sin  z = r cos ( r：电子到核的距离）

x=rsin 0 cos 电 y=rsin esin p z=rcos 0 (:电子到核的距离)原子核k 在球坐标中的薛定谔方程为:x 1 a(20vx? sin 0 0o(sin B oy 06 0y,2m\E+ 0 r ao 4兀Enr (下一页)

x y z θ φ r 电子 原子核 在球坐标中的薛定谔方程为： 0 4 2 sin 1 sin sin 1 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =         + +   +            +                      r e E m r r r r r r  （下一页） x = rsin  cos y = rsin  sin  z = r cos ( r：电子到核的距离）

用分离变量法解此方程,设解为: H(r,B,q)=R(r)(6)(q) 代入方程分别得三个微分方程: d2o 2+m2=0 1 d sin e +(+1) m0=0 sin e de de sine 1 d AR.2m、B+M4r2mR=0(3) h2(+1) dr( dr) h (下一页)

用分离变量法解此方程，设解为： 代入方程分别得三个微分方程： (r, ,) = R(r)( )() 0 (1) 2 2 2 +  =  ml dt d 0 (2) sin sin ( 1) sin 1 2 2   =       + + −            ml l l d d d d 0 (3) ( 1) 4 2 1 2 2 2 0 2 2 2 2  =      +  + + −      R r l l r m e E m dr dR r dr d r     （下一页）

二、能量量子化 可以证明,在求解方程(1)及(2)时, 为了满足波函数的标准条件, m只能取值mz=0,±1,±2,±l L只能取值l=0,l,2, 当E<O时,为了使R(r)满足标准条件,求得 E必须等于:E (4x60)2(2h)2n2 式中只能取n≤l+1的各正整数值。 n称为主量子数。 國(下一页)

可以证明，在求解方程（1）及（2）时， 为了满足 波函数的标准条件， ml 只能取值 ml = 0, ±1，±2， ±l l 只能取值 l = 0，1，2，… 当E < 0时，为了使 R（r）满足标准条件，求得 E 必须等于： ε 式中只能取n ≤l+1 的各正整数值。 n 称为 主量子数。 二、能量量子化 2 2 2 0 4 1 (4 ) (2 ) n me En    = − （下一页）