银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第十章 曲线积分和曲面积分

银川科技职业学院《高等数学》教寒 第十章曲线积分和曲面积分 例3计算∫2xd+x2山.(1)抛物线=x上从00,0)到B(1,1)的一段弧；(2) 抛物线=yY2上从00,0)到B1,1)的一段弧；(3)从O0,0)到4(1,0)，再到R(1,1) 的有向折线OAB. 解(1)L:=x2,x从0变到1.所以 S2xydx+xdby=fCxx+x.2x)dx-4fxdx-1. (2)L:x=y,y从0变到1.所以 2+r2=22-y2y+yd=5rd=1. (3)OA:=0,x从0变到1；AB:=1,y从0变到1. 2xydx+xdy=2xydx+x2dy+J2xydx+x2dy =2x0+x2-0+20+1=0+1=1. 例4.计算x+32-x2止，其中T是从点4A3,2,1)到点B0,0,0)的 直线段AB」 解：直线AB的参数方程为 x=31,=21,x=1, 1从1变到0.所以 所以 1-=3033+32nyP-2-6P-2h=87rdh=-87. 例5.设一个质点在Mx,y)处受到力F的作用，F的大小与M到原点O的距 商皮正比，上的方向恒指向泉点此质点由点4a0沿精因兰+芳按边时针 方向移动到点B(O,b),求力F所作的功W. 例5一个质点在方F的作用下从点和O沿椭圆等+茶1按逆时针方向 移动到点B(O,b),F的大小与质点到原点的距离成正比，方向恒指向原点.求力 F所作的功W 解：椭圆的参数方程为=ac0s,=sin,1从0变到受 r=OM=xi+yj,F-klr-r)--k(xi+x). 其中心0是比例常数： 于是 W=∫角-kx-d=kad+J冰. k(-a2costsint+bsintcost)dt 第11页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 11 页 例 3 计算   L xydx x dy 2 2  (1)抛物线 yx 2上从 O(0 0)到 B(1 1)的一段弧 (2) 抛物线 xy 2 上从 O(0 0)到 B(1 1)的一段弧 (3)从 O(0 0)到 A(1 0) 再到 R (1 1) 的有向折线 OAB  解 (1)L yx 2  x 从 0 变到 1 所以        1 0 2 2 2 2xydx x dy (2x x x 2x)dx L 4 1 1 0 3    x dx  (2)L xy 2  y 从 0 变到 1 所以        1 0 2 2 4 2xydx x dy (2y y 2y y )dy L 5 1 1 0 4    y dy  (3)OA y0 x 从 0 变到 1 AB x1 y 从 0 变到 1   L xydx x dy 2 2       OA AB xydx x dy xydx x dy 2 2 2 2          1 0 1 0 2 (2x 0 x 0)dx (2y 0 1)dy 011 例 4 计算 x dx zy dy x ydz 3 2 2 3    其中  是从点 A(3 2 1)到点 B(0 0 0)的 直线段 AB  解 直线 AB 的参数方程为 x3t y2t xt t 从 1 变到 0 所以 所以 I t t t t t dt        0 1 3 2 2 [(3 ) 3 3 (2 ) 2 (3 ) 2 ] 4 87 87 0 1 3    t dt  例 5 设一个质点在 M(x y)处受到力 F 的作用 F 的大小与 M 到原点 O 的距 离成正比 F 的方向恒指向原点 此质点由点 A(a 0)沿椭圆 1 2 2 2 2   b y a x 按逆时针 方向移动到点 B(0 b) 求力 F 所作的功 W 例 5 一个质点在力 F 的作用下从点 A(a 0)沿椭圆 1 2 2 2 2   b y a x 按逆时针方向 移动到点 B(0 b) F 的大小与质点到原点的距离成正比 方向恒指向原点 求力 F 所作的功 W 解 椭圆的参数方程为 xacost ybsint  t 从 0 变到 2   r OM  xi  yj   ) ( ) | | | | ( i j r r F k r   k x  y  其中 k>0 是比例常数 于是        AB AB W  kxdx kydy k  xdx ydy    2   0 2 2 ( cos sin sin cos )  k a t t b t t dt

银川科技职业学院《高等数学》教集 第十章曲线积分和曲面积分 -k(a2-b2)sintcostdi=(-b2). 三、两类曲线积分之间的联系 由定义，得 ∫Pt+O=(Pcosr+-Osin)ds =∫{P,Q-{cost,sin ds=-∫Fdt, 其中F={P,Q,T={cost,sin为有向曲线弧L上点(x,)处单位切向量， dr=Tds={dx,dy). 类似地有 SPdx+Qdy+Rd-=S(Pcosa+OcosB-+RcosyXds =(P.O.Rj-cosa.cosB.cosyjds=F.dr 其中F={P,Q,R,T={cosa,cosB,cos乃为有向曲线弧T上点x,八，)处单们切向 量，dr=Td={d,y,dk. 第12页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 12 页 ( ) 2 ( ) sin cos 2 2 2 0 2 2 a b k k a b t tdt      三、两类曲线积分之间的联系 由定义 得      L L Pdx Qdy (Pcos Qsin)ds       L L {P,Q} {cos,sin}ds F dr  其中 F{P Q} T{cos sin}为有向曲线弧 L 上点(x y)处单位切向量 drTds{dx dy} 类似地有   PdxQdyRdz  (PcosQcos Rcos )ds      {P,Q,R}{cos,cos,cos}ds Fdr  其中 F{P Q R} T{cos cos cos}为有向曲线弧  上点(x y z)处单们切向 量 drTds {dx dy dz }

银川科技职业学院《高等激学》教案 第十章曲线积分和曲面积分 S10.3 格林公式及其应用 一、格林公式 单连通与复连通区域： 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D,则称D为平 面单连通区域，否则称为复连通区域， 对平面区域D的边界曲线L,我们规定L的正向如下：当观察者沿L的这个 方向行走时，D内在他近处的那一部分总在他的左边： 区域D的边界曲线L的方向： 定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上 具有一阶连续偏导数，则有 尝-器h-f+Q D 其中L是D的取正向的边界曲线. 简要证明： 仅就D即是X一型的又是Y一型的区域情形进行证明 设D-={任，训0(ss,,a≤r≤b.因为平连续，所以由二重积分的计算法 有 I-e油-风-. 另一方面，由对坐标的曲线积分的性质及计算法有 fPk=JPt+Pt=心imx+xo(达 -[iPx.o(x)]-Px.o:(x)Jdkx. 因此 po. 设D={x,川6y)sx≤0y),c≤≤d.类似地可证 r器kfo咖. 由于D即是X一型的又是Y一型的，所以以上两式同时成立，两式合并即得 器hfP+Ow. 第13页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 13 页 §103 格林公式及其应用 一、格林公式 单连通与复连通区域 设 D 为平面区域 如果 D 内任一闭曲线所围的部分都属于 D 则称 D 为平 面单连通区域 否则称为复连通区域 对平面区域 D 的边界曲线 L 我们规定 L 的正向如下 当观察者沿 L 的这个 方向行走时 D 内在他近处的那一部分总在他的左边 区域 D 的边界曲线 L 的方向 定理 1 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成 函数 P(x y)及 Q(x y)在 D 上 具有一阶连续偏导数 则有          L D dxdy Pdx Qdy y P x Q ( )  其中 L 是 D 的取正向的边界曲线 简要证明 仅就 D 即是 X－型的又是 Y－型的区域情形进行证明 设 D{(x y)|1(x)y2(x) axb} 因为 y P   连续 所以由二重积分的计算法 有 dy dx P x x P x x dx y P x y dxdy y P b a x x b a D } { [ , ( )] [ , ( )]} ( , ) { 2 1 ( ) ( ) 2 1                 另一方面 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有          a b b L L L a Pdx Pdx Pdx P[x, (x)]dx P[x, (x)]dx 1 2 1 2   P x x P x x dx b a { [ , ( )] [ , ( )]}  1  2  因此       L D dxdy Pdx y P  设 D{(x y)|1(y)x2(y) cyd} 类似地可证      L D dxdy Qdx x Q  由于 D 即是 X－型的又是 Y－型的 所以以上两式同时成立 两式合并即得                L D dxdy Pdx Qdy y P x Q 