银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第十章 曲线积分和曲面积分

银川科技职业学院《高等数学》救 第十章曲线积分和曲面积分 §10.2对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 变力沿曲线所作的功： 设一个质点在xOy面内在变力Fx,y=P(x,y)i+Q(x,yi的作用下从点A沿光 滑曲线弧L移动到点B,试求变力F(x,y)所作的功 用曲线L上的点A=A0,A,A2,,An1,A=B把L分成n个小弧段， 设A=(x,)有向线段4A的长度为△%，它与x轴的夹角为，则 4A1={cosT,sin TAs(k=0,1,2,,n-1). 显然，变力Fx,y)沿有向小弧段A4所作的功可以近似为 F(x)A=P(xy)costk+0(xky)sin tlAsk 于是，变力Fx,y)所作的功 W)cosr+)sins 从而 W=[,[P(x,y)cosr+(x,y)sin rlds 这里=x,),{cosx,sint是曲线L在点(x,y)处的与曲线方向一致的单位切向量. 把L分成n个小弧段：L,L2,,Lm 变力在L,上所作的功近似为： F(5,)△s=P(5,7)△x+Q(5,7i)Ay; 变力在L上所作的功近似为： )A+A i=1 变力在L上所作的功的精确值： W=Iim∑P5,7)△x+Q5,7,)Ay], 其中元是各小弧段长度的最大值. 提示： 用△s={△x,△}表示从L的起点到其终点的的向量.用△表示△的模 对坐标的曲线积分的定义： 定义设函数x,)在有向光滑曲线L上有界.把L分成n个有向小弧段L1, 第6页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 6 页 §102 对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 变力沿曲线所作的功 设一个质点在 xOy 面内在变力 F(x y)P(x y)iQ(x y)j 的作用下从点 A 沿光 滑曲线弧 L 移动到点 B 试求变力 F(x y)所作的功 用曲线 L 上的点 AA0 A1 A2    An1 AnB 把 L 分成 n 个小弧段 设 Ak(xk  yk) 有向线段  Ak Ak1 的长度为sk 它与 x 轴的夹角为 k  则 k k k k k A A  s   {cos ,sin } 1   (k0 1 2    n1) 显然 变力 F(x y)沿有向小弧段 AkAk1  所作的功可以近似为 k k k k k k k k k k k x y A A  P x y Q x y s   ( , ) [ ( , )cos ( , )sin ] 1 F    于是 变力 F(x y)所作的功       1 1 1 ( , ) k k k k n k W F x y A A       1 1 [ ( , )cos ( , )sin ] n k k k k k k k k P x y  Q x y  s  从而    L W [P(x, y)cos Q(x, y)sin]ds 这里 (x y) {cos sin}是曲线 L 在点(x y)处的与曲线方向一致的单位切向量 把 L 分成 n 个小弧段 L1 L2    Ln 变力在 Li 上所作的功近似为 F(i  i)siP(i  i)xiQ(i  i)yi  变力在 L 上所作的功近似为 [ ( , ) ( , ) ] 1 i i i n i i i i  P x Q y       变力在 L 上所作的功的精确值 lim [ ( , ) ( , ) ] 1 0 i i i n i i i i W   P x Q y         其中是各小弧段长度的最大值 提示 用si{xi yi}表示从 Li 的起点到其终点的的向量 用si 表示si 的模 对坐标的曲线积分的定义 定义 设函数 f(x y)在有向光滑曲线 L 上有界 把 L 分成 n 个有向小弧段 L1

银川科技职业学院《高等激学》教案 第十章曲线积分和曲面积分 L2,··,Lm；小弧段L,的起点为(x-1,,终点为(x,以，△x=x一x-,△y=y一y- (,)为L上任意一点，入为各小弧段长度的最大值 如果极限m∑f传，)△x,总存在，则称此极限为函数 10=1 x,y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分，记作∫fx,,即 f(.y=mx 10=1 如果极限m之f作，n)4y总存在，则称此极限为函数 20e1 x,)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分，记作∫fx妙，即 /xd=m2f作n4y, 101 设L为xOy面上一条光滑有向曲线，{cosx,sint}是与曲线方向一致的单位切 向量，函数P(x,以、Q(x,)在L上有定义.如果下列二式右端的积分存在，我们 就定义 P(xd=P(xy)cosrds, ∫0x,y=∫Ox,)sin rds, 前者称为函数Px,)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分，后者称为函数Qx,) 在有向曲线L上对坐标y的曲线积分，对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分」 定义的推广： 设T为空间内一条光滑有向曲线，{cos%,cosB,cos乃是曲线在点(x,八，z)处的 与曲线方向一致的单位切向量，函数Px,y)、Qx,y,、Rx,y,)在「上有定 义.我们定义（假如各式右端的积分存在） P(x.y.=d=JP(x,y.=)coscds, [Ox.y.dy=[Ox.y.)cosAs. ∫Rxy2t=∫Rxy)coss. f/y.x-mnn.5 人→0 第7页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 7 页 L2    Ln 小弧段 Li的起点为(xi1 yi1) 终点为(xi  yi) xixixi1 yiyiyi1 (i  )为 Li 上任意一点  为各小弧段长度的最大值 如果极限     n i i i i f x 1 0 lim ( , )  总存在 则称此极限为函数 f(x y)在有向曲线 L 上对坐标 x 的曲线积分 记作 L f (x, y)dx  即       n i i i i L f x y dx f x 1 0 ( , ) lim ( , )   如果极限     n i i i i f y 1 0 lim ( , )  总存在 则称此极限为函数 f(x y)在有向曲线 L 上对坐标 x 的曲线积分 记作 L f (x, y)dy  即       n i i i i L f x y dy f y 1 0 ( , ) lim ( , )   设 L 为 xOy 面上一条光滑有向曲线 {cos sin}是与曲线方向一致的单位切 向量 函数 P(x y)、Q(x y)在 L 上有定义 如果下列二式右端的积分存在 我们 就定义    L L P(x, y)dx P(x, y)cosds    L L Q(x, y)dy Q(x, y)sinds 前者称为函数 P(x y)在有向曲线 L 上对坐标 x 的曲线积分 后者称为函数 Q(x y) 在有向曲线 L 上对坐标 y 的曲线积分 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分 定义的推广 设  为空间内一条光滑有向曲线 {cos cos cos}是曲线在点(x y z)处的 与曲线方向一致的单位切向量 函数 P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)在  上有定 义 我们定义(假如各式右端的积分存在) P(x, y,z)dx P(x, y,z)cosds     Q(x, y,z)dy Q(x, y,z)cosds       R(x, y,z)dz R(x, y,z)cosds           n i i i i i L f x y z dx f x 1 0 ( , , ) lim ( , , )  

银川科技职业学院《高等激学》教案 第十章曲线积分和曲面积分 f(x.y.dy-mn.y. 入→01 f...6 对坐标的曲线积分的简写形式： P(x.+.P(x.+Q.y:; 「Px,yz)dk+∫0xy2+fRx,yz =JP(x.y,=)dx+Q(x.y.z)dy+R(x.y.=)dE 对坐标的曲线积分的性质： (1)如果把L分成L,和L2,则 JPdx+Qdy=J Pdx+Qdy+J Pdx+Qdy. (2)设L是有向曲线弧，-L是与L方向相反的有向曲线弧，则 JP(x.y)d+Qxyd=-Px.yXb+Q(x.ydy. 两类曲线积分之间的关系： 设{cos,sin为与△s,同向的单位向量，我们注意到{△x,△}=△，所以 △x=cost△S,△y=sint△Si, fx达=m2 /G.n)s, 10=1 =m∑fGnn)cosr,As,=∫fx,)cosrds, 101 f(x.ydy=imn)y 10=1 im)sin s,(y)sin rds. 10=1 即 Pd+Qy[Pcost+Osin rlds, 或 ∫Adr=Atds 第8页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 8 页       n i i i i i L f x y z dy f y 1 0 ( , , ) lim ( , , )         n i i i i i L f x y z dz f z 1 0 ( , , ) lim ( , , )   对坐标的曲线积分的简写形式 P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy L L L ( , )  ( , )  ( , )  ( , )           P(x, y,z)dx Q(x, y,z)dy R(x, y,z)dz  P(x, y,z)dxQ(x, y,z)dyR(x, y,z)dz   对坐标的曲线积分的性质 (1) 如果把 L 分成 L1 和 L2 则         L L1 L2 Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy  (2) 设 L 是有向曲线弧 L 是与 L 方向相反的有向曲线弧 则      L L P(x, y)dx Q(x, y)d P(x, y)dx Q(x, y)dy  两类曲线积分之间的关系 设{cosi  sini}为与si 同向的单位向量 我们注意到{xi  yi}si  所以 xicosi si  yisini si        n i i i i L f x y dx f x 1 0 ( , ) lim ( , )         L n i f i i  i si f x y ds  lim ( , )cos ( , )cos 1 0        n i i i i L f x y dy f y 1 0 ( , ) lim ( , )         L n i f i i  i si f x y ds  lim ( , )sin ( , )sin 1 0  即      L L Pdx Qdy [Pcos Qsin]ds 或      L L A dr A tds

银川科技职业学院《高等激学》教案 第十章曲线积分和曲面积分 其中A={P,Q;,仁{cos石，sin为有向曲线弧L上点x,)处单位切向量， dr=tds={dx,dy;. 类似地有 [Pdx+Qdy+Rd-=[[Pcosa+QcosB+Rcosy]ds, 或 SA-dr=SA-tds=J Ads 其中A={P,Q,R,T={cosa,cosB,cos为有向曲线弧T上点(x,y,)处单们切向 量，d=Tds={d,d,dk},A,为向量A在向量t上的投影. 二、对坐标的曲线积分的计算： 定理：设P(x,以、Qx,)是定义在光滑有向曲线 L:x=0),=), 上的连续函数，当参数t单调地由α变到B时，点Mx,y)从L的起点A沿L运 动到终点B则 JP(x.yb-rtod ∫ecx=go.vl)dt. 讨论：∫P(x,+0xyd=? 提示：Px,yk+exd=o0,wuo0+go0.WOid. 定理：若Px,y)是定义在光滑有向曲线 L:x=0),=0a 上的连续函数，L的方向与t的增加方向一致，则 JP.-d 简要证明：不妨设o≤B.对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为{()， W()}, 所以cost= p'(0) Vo20+w2(0 从而 Pk=P(y)cos函 -ro0u0n7o0ya p'() =o20+w20dh =Pio0.wupodt. 第9页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 9 页 其中 A{P Q} t{cos sin}为有向曲线弧 L 上点(x y)处单位切向量 drtds{dx dy} 类似地有   PdxQdyRdz  [PcosQcos Rcos ]ds 或       d   ds A ds t A r A t  其中 A{P Q R} T{cos cos cos}为有向曲线弧  上点(x y z)处单们切向 量 drTds {dx dy dz } A t 为向量 A 在向量 t 上的投影 二、对坐标的曲线积分的计算 定理 设 P(x y)、Q(x y)是定义在光滑有向曲线 L x(t) y(t) 上的连续函数 当参数 t 单调地由  变到  时 点 M(x y)从 L 的起点 A 沿 L 运 动到终点 B 则       P x y dx P t  t  t dt L ( , ) [ ( ), ( )] ( )        Q x y dy Q  t  t  t dt L ( , ) [ ( ), ( )] ( )  讨论   L P(x, y)dx Q(x, y)dy ？ 提示          P x y dx Q x y dy P t  t  t Q t  t  t dt L ( , ) ( , ) { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )}  定理 若 P(x y)是定义在光滑有向曲线 L x(t) y(t)(t) 上的连续函数 L 的方向与 t 的增加方向一致 则       P x y dx P t  t  t dt L ( , ) [ ( ), ( )] ( )  简要证明 不妨设  对应于 t 点与曲线 L 的方向一致的切向量为{(t) (t)} 所以 ( ) ( ) ( ) cos 2 2 t t t           从而    L L P(x, y)dx P(x, y)cosds t t dt t t t P t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ), ( )] 2 2 2 2                       P[(t),(t)] (t)dt 

银川科技职业学院《高等激学》教案 第十章曲线积分和曲面积分 应注意的问题： 下限a对应于L的起点，上限B对应于L的终点，a不一定小于B. 讨论： 若空间曲线下由参数方程 =p),y=w(t),2=@(t) 给出，那么曲线积分 手Pxya+0axya冰+Rx.y.zY=? 如何计算 提示： 「Pxa+Ax.y.-)dy+Rxy2t -J2iP0.v).0k(+A.v0.o/W+Ro.vo0pOid. 其中a对应于下的起点，B对应于下的终点. 例题： 例1.计算∫x,其中L为抛物线广=x上从点4L,-1)到点B1,1)的一段弧. 解法一：以x为参数.L分为AO和OB两部分： AO的方程为y=-√，x从1变到0；OB的方程为y=,x从0变到1. 因此d=Aot+oBk =-+h=2k= 第二种方法：以y为积分变量.L的方程为y,y从-1变到1.因此 =02y=2=号 例2.计算yd (1)儿为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2; (2)从点A(a,0)沿x轴到点B(-a,0)的直线段. 解(1)儿的参数方程为 x=a cose,y=a sine, 0从0变到π 因 、 Sds=asin2Q-asin0xl0-a(I-cos2ONdcos0--a. (2)L的方程为=0，x从a变到-a. 因此 y2dx=Odx=0. 第10页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 10 页 应注意的问题 下限 a 对应于 L 的起点 上限  对应于 L 的终点  不一定小于   讨论 若空间曲线  由参数方程 x t) y = (t) z(t) 给出 那么曲线积分  P(x, y,z)dxQ(x, y,z)dyR(x, y,z)dz ？ 如何计算 提示  P(x, y,z)dxQ(x, y,z)dyR(x, y,z)dz      {P[(t),(t),(t)] (t) Q[(t),(t),(t)](t)R[(t),(t),(t)](t)}dt  其中  对应于  的起点  对应于  的终点 例题 例 1计算 L xydx 其中L为抛物线 y 2 x上从点 A(1 1)到点 B(1 1)的一段弧 解法一 以 x 为参数 L 分为 AO 和 OB 两部分 AO 的方程为 y x  x 从 1 变到 0 OB 的方程为 y x  x 从 0 变到 1 因此      L AO OB xydx xydx xydx 5 4 ( ) 2 1 0 2 3 1 0 0 1         x x dx x xdx x dx  第二种方法 以 y 为积分变量 L 的方程为 xy 2  y 从1 变到 1 因此     1 1 2 2 xydx y y(y ) dy L 5 4 2 1 1 4    y dy  例 2 计算 L y dx 2  (1)L 为按逆时针方向绕行的上半圆周 x 2 +y 2 =a 2  (2)从点 A(a 0)沿 x 轴到点 B(a 0)的直线段 解 (1)L 的参数方程为 xa cos ya sin  从 0 变到 因此         0 2 2 2 y dx a sin ( asin )d L       0 3 2 a (1 cos )d cos 3 3 4  a  (2)L 的方程为 y0 x 从 a 变到a 因此 0 0 2     a L a y dx dx 