[a,b]上的振幅O=M-m作O,的估计,有O,≤.此时,倘能用总长小于 (≠0,否则f(x)为常值函数)的有限个小区间复盖这些点,以这有限个小区间的 端点作为分法T的一部分分点,在区间[a,b]的其余部分作分割,使在每个小区间上有 对如此构造的分法T,有 2(b-a) △x4+c,△ 2(b-a) Ax,+o>Ax,≤ (b-a)+o 2(b-a) 2(b-a) Th4((R)可积函数的特征)设f(x)在区间[a,b]上有界.f(x)∈R[a,b]分 对VE>0和Va>0,36>0,使对任何分法T,只要|7<6,对应于 2E的那些小区间△x1的长度之和∑△x<a 证→)f(x)在区间[a,b]上可积,对E>0和Vσ>0,彐δ>0,使对任何分法 T,只要‖<δ,就有 e∑4≤∑o1As∑o△x1<,→∑ △x,<O =)对VE>0,37,3,2E的区间总长小于三,此时有 ∑△Ax=∑oAx+∑oAxs∑Ax+o∑Ax,≤ab-a)+o2 k=1 E(b-a+1) 可积函数类 1.闭区间上的连续函数必可积: Th5(证) 2.闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积 系1闭区间上按段连续函数必可积 系2设函数f(x)在区间[a,b]上有界且其间断点仅有有限个聚点,则函数f(x)在区 间[a,b]上可积
ba ] , [ 上的振幅 ω −= mM 作 ω i 的估计 , 有 ω i ≤ ω . 此时, 倘能用总长小于 0 ( 2 ω ≠ ω ε , 否则 为常值函数 )的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间的 端点作为分法 xf )( T 的一部分分点，在区间 ba ] , [ 的其余部分作分割，使在每个小区间上有 ω i < − ab )(2 ε , 对如此构造的分法T , 有 ∑ < = Δ n i ∑ ∑ = − = Δ+Δ= m k mn j kk jj x x 1 1 ω ω ∑ ∑ = − = ≤Δ+Δ − m k mn j k j xx 1 1 ab )(2 ω ε i x i 1 ω ∑∑ − = = Δ+Δ − ≤ mn j j n i i xx ab 1 1 )(2 ω ε ε ω ε ω ε =+− − ≤ 2 )( )(2 ab ab . Th 4 ( (R)可积函数的特征 ) 设 在区间 xf )( ba ] , [ 上有界. xf )( ∈ baR ] , [ 对 ⇔ ε >∀ 0 和 σ δ >∃>∀ 0 , 0 , 使对任何分法 T , 只要 T < δ , 对应于 ω ′ ≥ ε i 的那些小区间 的长度之和 . i Δx ′ ∑ xi′ <Δ σ 证 ⇒) xf )( 在区间 ba ] , [ 上可积, 对 ε >∀ 0 和 ∀σ > ∃δ > 0 , 0 , 使对任何分法 T , 只要 T < δ , 就有 ε xi′ ω xii ′′ ∑∑∑ xii εσω , ∑ xi′ <Δ⇒<Δ≤Δ≤Δ σ . ⇐) 对 ε T ∋∃>∀ , , 0 ω ′ ≥ ε i 的区间总长小于 , ω ε 此时有 ∑ ∑ ∑∑ ∑ = =′ ′ ′= = ′′ +−≤Δ+Δ≤Δ+Δ=Δ m k n i i m k k n i xii xkk ii abxxx 1 1 1 1 )( ω ε ω ω ωεωεω = =ε ab +− ).1( 三． 可积函数类： 1．闭区间上的连续函数必可积： Th 5 （ 证 ） 2． 闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积 . Th 6 （ 证 ） 系 1 闭区间上按段连续函数必可积 . 系 2 设函数 在区间 上有界且其间断点仅有有限个聚点, 则函数 在区 间 上可积. xf )( ba ] , [ xf )( ba ] , [ 105
例2判断题:闭区间上仅有一个间断点的函数必可积 闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可积.( 3.闭区间上的单调函数必可积 Ih7(证) 0 关于可丝体n1x:1n=1,2,…证明(x)在O,1上可积 例3f(x)={1 般的充分条件为 Th闭区间[a,b]上的正规函数( regulated function)f(x)是可积的 g: S.K. Berberian, Regulated function: Bourbakis alternative to the Riemann integral, The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 3. 1979 马振民, Riemann积分中几个常用可积条件的统一,甘肃教育学院学报(自然科学 版),Vol.12,No,1,1998 ExP283-2841-5 §3定积分的性质(3时) 、定积分的性质 1.线性性质 Th1f∈R[a,b],k- Const kf∈ab,且[=k[∫.(证) Th2g∈a.,→∫主g∈刚a,且∫(±g)=[/土∫g.(证) 综上,定积分是线性运算 2.乘积可积性: Th3f,g∈R[a,b],→f·g∈R[a,b 证f和g有界.设A=up|f(x),B=Supg(x),且可设A>0,B>0(否则f 或g恒为零)插项估计∑o(·g)Ax,有 O,(f·g)= sup f(x)g(x)-f(x")g(x”)k ≤sup[|g(x)川f(x)-f(x”)+|f(x")‖g(x)-g(x”)≤BO,O)+AO,(g) 但一般∫/g≠/g 3.关于区间可加性 Th4有界函数∫在区间[a,c]和[c,b]上可积,f(x)∈R[a,b],并有
例 2 判断题 : 闭区间上仅有一个间断点的函数必可积 . ( ) 闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可积 . ( ) 3. 闭区间上的单调函数必可积： Th 7 （ 证 ） 例 3 , 2 , 1 " . 1 1 1 , 1 , 0 , 0 )( = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ << + = = n n x nn x xf 证明 在 上可积 xf )( ] 1 , 0 [ . 关于可积性的更一般的充分条件为: Th 闭区间 ba ] , [ 上的正规函数( regulated function ) xf )( 是可积的. 参阅 : S . K . Berberian , Regulated function : Bourbaki’s alternative to the Riemann integral , The American Mathematical Monthly , Vol. 86 , No.3. 1979, P 208—211. 马振民 , Riemann 积分中几个常用可积条件的统一 , 甘肃教育学院学报( 自然科学 版 ) , Vol.12, No.1 , 1998 . Ex P283—284 1 — 5. § 3 定积分的性质（ 3 时 ） 一、定积分的性质: 1．线性性质: Th 1 ∈ ],,[ kbaRf — Const , ⇒ ∈ baRkf ],,[ 且 ∫ ∫ = . （ 证 ） b a b a fkkf Th 2 ∈ baRgf ],[, , ⇒ ∈± baRgf ],[ , 且 ∫ ∫ ±=± .（ 证 ） b a b a b a )( gfgf ∫ 综上 , 定积分是线性运算 . 2. 乘积可积性: Th 3 ∈ baRgf ],[, ,⇒ ∈⋅ baRgf ],[ . 证 f 和 g 有界. 设 )(sup , |)(|sup ],[ ],[ xgBxfA ba ba = = , 且可设 .( 否则 或 恒为零 ). 插项估计 , 有 BA >> 0 , 0 f g ∑ Δ⋅ i i ω )( xgf =⋅ ′′ − ′′ ′′ ≤ ′′′ Δ∈ |)()()()(|sup)( , gf xgxfxgxf i xxx ωi i ′′′ Δ∈ xxx ≤ , sup gAfBxgxgxfxfxfxg )( )(|])()(| |)(| |)()(| |)(| [ ≤ ωi + ωi ′′ − ′′ + ′′ ′ − ′′ . …… 但一般 . ∫ ∫ ⋅≠⋅ b a b a b a gfgf ∫ 3. 关于区间可加性: Th 4 有界函数 f 在区间 ca ],[ 和 bc ],[ 上可积， ⇔ xf )( ∈ baR ] , [ , 并 有 106