而F(x,y)在[yo-β,y+βI上严格增且连续由介值定理,存在唯一的 E(y。β,Jo+ β),使得 F(x,J)=0.由 x在(x-α,x+α)中的任意性,确定了一个定义域为(xα,x,+α),值域含于(yo-β,y+β)的隐函数y= f(x)若记: U(P)=(xo -α,X +α)×(yo-β,yo +β),则y=f(x）满足结论的要求即为所求0000自录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 − + 0 0 而 F(x, y)在 y , y 上严格增且连续, 由介值定理, 存在唯一的 ( , ), y y0 − y0 + 使得 F(x, y) = 0. ( , ) , 由 x 在 x0 − x0 + 中的任意性 确定了 ( , ), 一个定义域为 x0 − x0 + 值域含于 ( , ) ( ). y0 − y0 + 的隐函数 y = f x : ( ) ( , ) ( , ), 若记 U P0 = x0 − x0 + y0 − y0 + 则 满足结论的要求即为所求 ( ) , . y f x =
2. 再证y=,f(x)的连续性易知对vxe(x -α,x, +α), = f(x),yo-β<y<yo + β.V>0, 且<miniyo+β-J,J-Jo +β),使得 -β≤-<+≤y+β.从而 F(x,-8)<0,F(x,J+)>0.由保号性，存在x的某邻域（x一s,x+)(x-α,xo+α),使得x属于该邻域时,F(x,-8)<0,F(x, J+8)>0.因此存在唯一的y,使得F(x,)=0,Iy一Jk8,由y的唯一性，=f(x)000自录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 2. ( ) 再证 的连续性 y f x = ( , ), 对 x x0 − x0 + y = f (x), 易知 . y0 − y y0 + 0, min , , 且 y0 + − y y − y0 + . 使得 y0 − y − y + y0 + 从而 F(x, y − ) 0,F(x, y + ) 0. 由保号性，存在 x 的某邻域 (x − , x + ) ( , ), x0 − x0 + 使得x属于该邻域时, F(x, y − ) 0,F(x, y + ) 0. 因此存在唯一的y,使得F(x, y) = 0, | y − y | , 由 y的唯一性, y = f (x)
即证得：0>0当时，f(x)- f(x)<8.进而 y=f(x)在(x-α,x+α)上连续3.再证y=f(x)的可微性设 x,x+ 4xe(x-α,x +α), 则y= f(x), y+4y = f(x+4x)E(yo-β,y +β)F(x,y)=0,F(x+4x, y+4y)=0.由F.和F.的连续性及二元函数的中值定理知：0=F(x+4x,y+4y)-F(x,y)=Fx+4xy+4y)4x+Fx+4xy+4y)4)其中0<日<10000目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 即证得： 0, 0，当| x − x | 时, f (x) − f (x) . ( ) ( , ) . 进而 y = f x 在 x0 − x0 + 上连续 3. ( ) 再证 的可微性 y f x = ( ), ( ) ( , ). y = f x y + y = f x + x y0 − y0 + 则 F(x, y) = 0,F(x + x, y + y) = 0. 设 x, x + x( , ), x0 − x0 + 由 和 的连续性及二元函数的中值定理知: Fx Fy 0 = F(x + x, y + y) − F(x, y) F x x y y x F x x y y y = x ( + , + ) + y ( + , + ) 其中0 1
因而F(x+e4x,y+4y)AyAxF(x+ 4x, y +4y)由于右端是连续函数F(x,y),F,(x,y)和f(x)的复合函数，而且F(x,)在U(P,)内不等于零所以F(x,y)Ayf(x)=lim4x-04xF,(x,y)且 (x)在 (xo-α,x, +α)内连续000目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 由于右端是连续函数Fx (x, y),Fy (x, y)和f (x)的 复合函数, ( , ) ( ) , 而且Fy x y 在U P0 内不等于零 所以 ( , ) ( , ) '( ) lim 0 F x y F x y x y f x y x x = = − → 且 f '(x)在 ( , ) . x0 − x0 + 内连续 ( , ) ( , ) F x x y y F x x y y x y y x + + + + = − 因而
事实上，若方程F(x,y)=0存在连续可微隐函数y=f(x）则对F(x,y)=0 复合函数求导,可得Fr(x,y)+F,(x,y)y'=0如 F,(x,J)≠0,也可得F(x,y)f(x)=-F,(x,y)0000X目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 事实上，若方程F x y ( , ) 0 = 存在连续可微隐函数y f x = ( ), 则对 F(x, y) = 0复合函数求导,可得 Fx (x, y) + Fy (x, y) y'= 0 F (x, y) 0, 如 y 也可得( , ) ( , ) '( ) F x y F x y f x y x = −