lim f(x)=A的几何意义x>+0有A-<f(x)<A+6yA+8AA-6①任意给定8>0福xM使当x>M时+②存在MV0
④ 有 A f x A − + ( ) lim ( ) x f x A →+ = 的几何意义 ③ 使当 x M 时 x A − A+ ①任意给定 0 M ②存在 M a x A yO a
注数列可视为定义在正整数集上的函数请大家比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点与不同点例1 证明 1 im 1= 0.X-+o X证 任给>0,取M= 1,当 x>M 时,1 f(x)- 0/=1 -/<e,所以（由定义1）1im 1= 0.X-+8 X
注 数列可视为定义在正整数集上的函数. 请大家 所以(由定义1), 例1 证明 lim x→+∞ 1 x = 0. 证 任给 ε>0, 取 M= 1 ε , 当 x>M 时 , | f ( x)− 0|=| 1 x |<ε , lim x→+∞ 1 x = 0. 与不同点. 比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点
-2证明 lim arctanx=例2 iX-8TT证 任给 >0(e<号),取 M= tan()12因为 arctanx 严格增，当 x>M 时元元f(x)arctanx一22<1-(F-6)=6.元这就是说lim arctan x2x-→+00
例2 证明 lim x→+∞ arctan x= π 2 . 证 任给 ε>0 ( ε< π 2 ), 取 M= tan( π 2 − ε). 这就是说 π lim arctan . x 2 x →+ = 因为 arctan x 严格增， 当 x>M 时， π π ( ) arctan 2 2 f x x − = −π π ( ) . 2 2 − − =
定义2 设 f(x)定义在(- ,b) 上,A是一个常数若对于任意 ε>0,存在 M>0,当x<-M(<b)时If(x)- Al<,则称f(x)当 x-- 时以 A 为极限，记为1im f(x)= A 或f(x)A (x-- ∞)X一
|f ( x ) − A|< ε , 定义 2 设 f ( x )定义在 ( − ∞ ,b] 上 , A是一个常数. 若对于任意 ε>0 , 存在 M>0, 当 x M b − ( )时 则称 f ( x ) 当 x →− ∞ 时以 A 为极限, 记为 lim x→− ∞ f ( x ) = A 或 f ( x ) →A ( x →− ∞ )
定义3 设 f(×)定义在的某个邻域 U(）) 内，A为一个常数．若对于任意 ε>0，存在M>0，当x/>M时/ f(x)- A/<=,则称 f(x)当 x→ 时以 A 为极限， 记为1imf(×)= A 或 f(x)→A (x→o0)Xyo
则称 f ( x) 当 x→∞ 时以 A 为极限， 记为 | f ( x)− A|<ε , 定义3 设 f ( x)定义在∞的某个邻域 U (∞) 内 , A 为一个常数. 若对于任意 ε>0, 存在 M>0， 当 x M 时 lim x→∞ f ( x)= A 或 f ( x)→A ( x→∞)