4.1.留数定理 6/38回 f(zdz=2ni∑Resf(b (4.1-5) 意义 求围线积分转化为求被积函数在围线所围区域内各孤立奇点 的留数和 3.证明 思路:用复通区域的 Cauchy定理+留数定义.具体见上 4.留数定理可推广到无限远点的情形* 没函数∫(z)在无限远点的邻域上解析.我们来计算绕∞的正向 围线积分$f(z)dz,在l以外的区域上没有f(x)的有限远奇点将 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. 3ê½n 6/38 ~ I ` f(z)dz = 2πi X n j=1 Resf(bj). (4.1-5) 2. ¿Â ~ ¦. . . È. ©. =. z. . ¦. . È. ¼. ê. 3. . . ¤. . «. . S. . . á. Û. :. . 3. ê. Ú. © 3. y² ~ g. ´. µ^. E. Ï. «. . . Cauchy ½. n. + 3. ê. ½. Â. ©äNþ. 4. 3ê½ní2Ã:/∗ v¼ê f(z) 3Ã:þ)Û©·5O7 ∞ È© ` f(z)dz§3 ` ± «þvk f(z) kÛ:©ò
4.1.留数定理 7/38圆 f(Z)在无限远的邻城上展为 Laurant级数,并代人积分式,得 )dz=4∑ak2)dz 除k=-1一项外,其余各项均为零,即 f(z)dz =-2ri(-a-1)=2riResf(oo). a-1被定义为∫(z)在无限远点的留数Resf(∞).这样,留数定理对于 无限远点也成立.注意,即使无限远点不是奇点Resf(o)也可以不为 有趣的是,如果f(x)只有有限个奇点.所有有限远的奇点必在某 个圆的内部{z<R,让我们在圆环城R<|z<∞内任取一个围线 E,则由(41-5), f(zdz=2ni{f(x)在所有有限远奇点的留数之和} ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. 3ê½n 7/38 f(Z) 3âþÐ Laurant ?꧿<È©ª§ ` f(z)dz = ` X ∞ k=−∞ ak z k ! dz. Ø k = −1 §Ù{þ"§= ~ ` f(z)dz = −2πi(−a−1) = 2πiResf(∞). (4.1-6) −a−1 . ½. Â. . f(z) 3. Ã. . . :. . 3. ê. Resf(∞)©ù§3ê½néu Ã:¤á©5¿§=¦Ã:Ø´Û: Resf(∞) ±Ø "© k´§XJ f(z) kkÛ:©¤kkÛ:73, SÜ |z| < R§4·3 ¢ R < |z| < ∞ S? `§Kd(4.1-5)§ ~ ` f(z)dz = 2πi f(z)3¤kkÛ:3êÚ .
841.留数定理 8/38 上式与(41-6式相加,得 0=2mi{在所有各点的留数之和} (4.1-7) 至即函数f(2)在全平面上所有各点的留数之和为零.这里说的所有 各点包括无限远点和有限远的奇点 412留数的计算 一般方法:在孤立奇点的邻域上把函数展开为 Laurant级数,取 其负一次幂项的系数.本性奇点用此方法 大对极点:可不作 Laurant级数展开而得到.下面具体介绍 1.m阶极点的留数定理 大定理 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. 3ê½n 8/38 þª(4.1-6)ª\§ ~ 0 = 2πi{3¤k:3êÚ}. (4.1-7) ~ =. ¼. ê. f(z) 3. . ². ¡. þ. ¤. k. . :. . 3. ê. . Ú. . ". ©ù. p. `. . ¤. k. . :. . ). Ã. . . :. Ú. k. . . . Û. :. © 4.1.2 3êO ✿ {µ3. . á. Û. :. . . . þ. r. ¼. ê. Ð. m. . Laurant ?. ê. §. Ù. K. . g. . . . X. ê. © 5Û:^d{© ✿ é4:µØ Laurant ?êÐm ©e¡äN0 © 1. m 4:3ê½n ✿ ½n
4.1.留数定理 9/38 如果x0是函数f(z)的m阶(级)极点,则 d Res(0)(m-1)!120dzm-1(x-z0yf(x) li 4.1-8) S证明具有m阶极点的函数∫(x)可展开为 Laurant级数 f(x)=am(z-z0)m+…+a-21(z-z0)-2+a-1(z-z0)-1 (4.1-9) 上式两边同乘以(z-z0,得 (x-z0)mf(x)=a-m+a-m+1(z-x0)+…+a-1(z-z0)m-1 ak(z -zo) k+m (4.1-10) 上式两边取极限,当z→z0时,右边等于am,所以 im[(z-z0)"f(x)=a-m=非零有限值 (4.1-11) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. 3ê½n 9/38 X. J. z0 ´. ¼. ê. f(z) . m . £?. ¤4. :. §K. ~ Resf(z0) = 1 (m − 1)! lim z→z0 d m−1 dz m−1 (z − z0) m f(z) . (4.1-8) ✿ y²äk m 4:¼ê f(z) Ðm Laurant ?ê f(z) = am(z − z0) −m + · · · + a−2(z − z0) −2 + a−1(z − z0) −1 + X ∞ k=0 ak(z − z0) k . (4.1-9) þªü>Ó¦± (z − z0) m§ (z − z0) m f(z) = a−m + a−m+1(z − z0) + · · · + a−1(z − z0) m−1 + X ∞ k=0 ak(z − z0) k+m . (4.1-10) þªü>4§ z → z0 §m> u a−m§¤± ~ lim z→z0 (z − z0) m f(z) = a−m = "k. (4.1-11)
4.1.留数定理 10/38 这就是判断m阶极点阶数公式 式(41-10)两边求m-1阶导数后,有 d 1 (m+k)! zm-1(z-z0)"f(z)}=(m-1)!a-1+ d k=0(k+1!k(x-z0)4+1 上式中令z→0,两端取极限,并除以(m-1)!,得(4.18),即 d -1 Resf(zo)= a-1 (m-1)!20(dxm=1(z-z0)mf(z) lim 由定理(48),我们可以得到如下两个推论 推论一—一阶(单)极点的留数 对于一阶(单)极点,由定理(4.1-8),得 Resf(z0)=a-1=lim[(z-z0)f(z)]=非零有限值.(41-12) z→20 上式既是判断z0是否是函数f(x)单极点的公式,也是计算函数f(z) 在单极点z0的留数公式 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. 3ê½n 10/38 ù. Ò. ´. . ä. m . 4. :. . ê. ú. ª. © ª(4.1-10)ü>¦ m − 1 ê§k d m−1 dz m−1 {(z − z0) m f(z)} = (m − 1)!a−1 + X ∞ k=0 (m + k)! (k + 1)! ak(z − z0) k+1 . þª¥- z → z0§üà4§¿Ø± (m − 1)!§(4.1-8)§= Resf(z0) = a−1 = 1 (m − 1)! lim z→z0 d m−1 dz m−1 (z − z0) m f(z) d½n(4.1-8)§·±XeüíØ© 2. íØ— £ü¤4:3ê é. u. . . £ü. ¤4. :. §d. ½. n. (4.1-8)§. ~ Resf(z0) = a−1 = lim z→z0 [(z − z0)f(z)] = . ". k. . . . (4.1-12) þ. ª. Q. ´. . ä. z0 ´. Ä. ´. ¼. ê. f(z) ü. 4. :. . ú. ª. §. ´. O. . ¼. ê. f(z) 3. ü. 4. :. z0 . 3. ê. ú. ª. ©