临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 第四章函数的连续性 、基本概念 1.函数在一点的连续性: 设函数∫在某U(x)内有定义,若Iimf(x)=∫(x),则称∫在点x连续 函数连续的等价定义 (1)函数∫在点x连续分→lim△y=0 Ax→0 (2)函数∫在点x连续分VE>0,30>0,当x-x0kd时,|f(x)-f(x0)kE 2.函数一致连续的定义: 设∫为定义在区间/上的函数。若对任给的E>0,存在一个δ=6(E)>0,使得对任 何x,x”∈1,只要|x-x"k6,就有f(x)-f(x)kE,则称函数∫在区间上一致连 二、基本定理 1.局部有界性定理:若∫在x连续。则∫在某U/(x)有界。 2.局部保号性定理:若∫在x连续,且∫(x0)>0(or<0)则对任何正数r∈(0,f(x0) (r∈((x0)20),存在某U(x)有f(x)>r>0((x)<r<0)。 3.四则运算:若∫和g在x点连续,则∫±g,f·g,(8(x)≠0)也都在点x连续。 4.复合函数连续性定理:若∫在点x连续,记∫(x0)=l,函数g在连续,则复合 函数g°f∫在点x连续。 5.反函数连续性定理:若函数∫在[a,b]上严格单调并连续,则反函数∫在其定义域 [f(a),f(b或[∫(b),f(a)]上连续 6.若∫在闭区间[a,b]上连续,则∫在[{a,b]上有最大值与最小值 7.若∫在[a,b]上连续,则∫在[a,b]上有界
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 第四章 函数的连续性 一、基本概念 1. 函数在一点的连续性： 设函数 f 在某U x( 0 ) 内有定义，若 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = ，则称 f 在点 0 x 连续。 函数连续的等价定义： ⑴ 函数 f 在点 0 x 连续⇔ 0 lim 0 x y ∆ → ∆ = 。 ⑵ 函数 f 在点 0 x 连续⇔ ∀ > ε 0,∃δ > 0 ，当 0 | x x − |< δ 时， 0 | ( f x) − < f x( ) | ε 。 2. 函数一致连续的定义： 设 f 为定义在区间 I 上的函数。若对任给的ε > 0 ，存在一个δ = δ ε( ) > 0 ，使得对任 何 x′ ′ , x ′∈ I ，只要| x x ′ ′ − ′ |< δ ，就有| | f x( ′) − f x( ′′) < ε ，则称函数 f 在区间 I 上一致连 续。 二、基本定理 1. 局部有界性定理：若 f 在 0 x 连续。则 f 在某 有界。 0 U x( ) 2. 局部保号性定理：若 f 在 0 x 连续，且 f x( 0 ) > 0(or < 0) 则对任何正数 0 r f ∈(0, (x )) 0 ( ( r f ∈ (x ),0))，存在某U x( 0 ) 有 f x( ) > > r 0( f ( ) x < r < 0)。 3. 四则运算：若 f 和 g 在 0 x 点连续，则 0 , , ( ( ) 0 f f g f g g x g ± ⋅ ≠ )也都在点 0 x 连续。 4. 复合函数连续性定理：若 f 在点 0 x 连续，记 0 ( ) 0 f x = u ，函数 在 连续，则复合 函数 在点 g 0 u g o f 0 x 连续。 5. 反函数连续性定理：若函数 f 在[ , a b]上严格单调并连续，则反函数 1 f − 在其定义域 [ ( f a), f (b)] 或[ ( f b), f (a)] 上连续。 6. 若 f 在闭区间[ , a b]上连续，则 f 在[ , a b]上有最大值与最小值。 7. 若 f 在[ , a b]上连续，则 f 在[ , a b]上有界。 - 1 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 8.设∫在[a,b]上连续,且∫(a)≠∫(b)。若4是介于f(a)和∫(b)之间的任何实数, 则至少存在一点x∈(a,b),使得f(x0)= 9.若∫在[a,b]上连续,且f(a)和∫(b)异号(f(a)f(b)<0),则至少存在一点 x∈[a,b],使得f(x)=0。 10.若函数∫在闭区间[a,b上连续,则∫在[anb]上一致连续 、基本要求 1.深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义,并能熟练写出函数在一点连续的各 种等价叙述 2.从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发,理解函数在一点间断以及函 数间断点的概念,从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同 类型的间断点; 3.明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的,清楚区分“连续函 数”与“函数连续”所表述的不同内涵 4.掌握连续的局部性质(有界性、保号性),连续函数的有理运算性质,并能加以证明 熟知复合函数的连续和反函数的连续性。能够在各种问题的讨论中正确运用连续函数的这些 重要性质 5.掌握闭区间上连续函数的主要性质,理解其几何意义,并能在各种有关的具体问 题中加以运用 6.理解函数在某区间上一致连续的概念,并能清楚地认识到函数在一区间上连续与在 这一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别 7.深刻理解初等函数在其定义的区间上都是连续的,并能应用连续性概念以及连续函 数的性质加以证明,能熟练运用这一结论求初等函数的极限 四、典型例题 例1证明连续函数的局部有界性——若∫在x0处连续,则彐M>0和。0>0 ,使得(x)≤M,x∈U(xn;) 证明:据∫在x0连续的定义,VE>0,36>0,当x∈U(x0;.引)时满足
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 8. 设 f 在[ , a b]上连续，且 f a( ) ≠ f (b) 。若 µ 是介于 和 之间的任何实数， 则至少存在一点 f a( ) f b( ) 0 x ∈( , a b)，使得 0 f x( ) = µ 。 9. 若 f 在[ , a b] 上连续，且 f a( ) 和 f b( ) 异号（ f a( )⋅ f (b) < 0 ），则至少存在一点 0 x ∈[ , a b]，使得 f x( )0 = 0 。 10. 若函数 f 在闭区间[ , a b]上连续，则 f 在[ , a b]上一致连续。 三、基本要求 1. 深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各 种等价叙述； 2. 从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函 数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同 类型的间断点； 3. 明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，清楚区分“连续函 数”与“函数连续”所表述的不同内涵。 4. 掌握连续的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算性质，并能加以证明； 熟知复合函数的连续和反函数的连续性。能够在各种问题的讨论中正确运用连续函数的这些 重要性质； 5. 掌握闭区间上连续函数的主要性质 ，理解其几何意义，并能在各种有关的具体问 题中加以运用； 6. 理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与在 这一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别。 7. 深刻理解初等函数在其定义的区间上都是连续的，并能应用连续性概念以及连续函 数的性质加以证明，能熟练运用这一结论求初等函数的极限。 四、典型例题 例 1 证明连续函数的局部有界性——若 f 在 x0 处连续，则 ∃M > 0 和δ 0 > 0 ，使得 ( ) ( ) 0 0 f x ≤ M, x ∈U x ;δ ． 证明： 据 f 在 x0 连续的定义，∀ε > 0,∃δ > 0,当 ( ;δ ) 0 x ∈U x 时满足 - 2 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 I f(x)-f(ro)<e 现取E=1,相应存在δ>0,当x∈U(x0:)时,就有 f(x)|-|f(x)|sf(x)-f(x)<1,→f(x)|s|f(x)|+1=M 注类似可证连续函数的其余局部性质,例如四则连续性质、局部保号性质等等 例2证明∫(x)在(ab)上一致连续的充要条件是:f(x)在(a,b)上连续,且存在 limf(x)与limf(x) 证明:先证充分性:令 ∫(x),x∈(a,b), 8(x)= lim f(x), x=a, lim f(x), x=b 由条件可知g(x)在[ab]上连续,从而g(x)在[b上一致连续(由连续函数在闭区间上 的整体性质).再由一致连续的定义,又知g(x)在(ab)上也一致连续,而在(ab)上 f(x)=g(x)所以证得f(x)在(ab)上一致连续 再证必要性:由f(x)在(ab)上一致连续的定义,VE>0,3δ>0, x∈(a.b)且x-x1<d时,有 f(x')-f(x)<e 因此,特别当x,x∈(aa+。)或(-6.b)时,同样有/(x)-()< 这表示x→a+0或x→b-0时∫(x)存在极限的柯西条件得到满足,所以证得 im/(x)与im(x) 都存在 注若f(x)在(a,b)上一致连续,则f(x)在(a,b)上必定有界.这是因为上面证明中 已知g(x)在[a,b上连续,从而g(x)在[ab]上有界,故在g(x)在(ab)上也有界;而在 (a,b)上f(x)=g(x),所以知道f(x)在(a,b)上有界 对于一般在(a,b)上的连续函数f(x),它在(a,b)上不一定有界.例如f(x)=-在 (0,1)上处处连续,但它在(01)上是无界的.由此又可说明∫(x)=-在(0,1)上必定不一 致连续
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 ( ) − ( ) < ε 0 f x f x ． 现取ε = 1，相应存在δ 0 > 0 ，当 ( ) 0 0 x∈U x ;δ 时，就有 f (x) − f (x0 ) ≤ f (x) − f (x0 ) < 1 , ⇒ f (x) ≤ f (x0 ) + 1 = M ． 注 类似可证连续函数的其余局部性质，例如四则连续性质、局部保号性质等等． 例 2 证明 f (x) 在 (a,b)上一致连续的充要条件是： f (x) 在 (a,b)上连续，且存在 ． lim ( ) lim ( ) 0 0 f x f x x→a+ x→b− 与 证明： 先证充分性：令 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = ∈ = → − → + lim ( ), . lim ( ), , ( ) , ( , ), ( ) 0 0 f x x b f x x a f x x a b g x x b x a 由条件可知 g(x) 在[a,b]上连续，从而 g(x) 在[a,b]上一致连续（由连续函数在闭区间上 的整体性质）．再由一致连续的定义，又知 g(x) 在 (a,b) 上也一致连续．而在 ( ) 上 所以证得 在( 上一致连续． a,b f ( ) x = g(x) f (x) ) ) a,b 再证必要性：由 f (x) 在(a,b 上一致连续的定义，∀ε > 0,∃δ > 0,，当 x , x ( ) a,b ' '' ∈ 且 − < δ ' '' x x 时，有 f ( x′) − f ( x′′) < ε ． 因此，特别当 x , x ∈( ) a,a + δ ' '' 或(b −δ ,b)时，同样有 ( )− ( ) < ε ' '' f x f x ． 这表示 x → a + 0或 x → b − 0时 f (x) 存在极限的柯西条件得到满足，所以证得 f (x) x a 0 lim → + 与 f (x) x b 0 lim → − 都存在． 注 若 f (x) 在(a,b)上一致连续，则 f (x) 在 (a,b)上必定有界．这是因为上面证明中 已知 g(x) 在[a,b]上连续，从而 g(x) 在[a,b]上有界，故在 g(x) 在 (a,b)上也有界；而在 ( ) a,b 上 f ( ) x = g(x)，所以知道 f (x) 在(a,b)上有界． 对于一般在 (a,b) 上的连续函数 f (x) ，它在 (a,b) 上不一定有界．例如 x f x 1 ( ) = 在 (0,1) 上处处连续，但它在(0,1) 上是无界的．由此又可说明 x f x 1 ( ) = 在 (0,1) 上必定不一 致连续． - 3 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 例3证明函数f(x)=-在区间(01)内非一致连续 证法一:(用一致连续的否定定义验证)取E0=1V6(<1)取 x=minδ 与 便有-x1=2s2<6但 ≥2>1=E 证法二:(用教材例10的结果) 例4lim 解:sin√x+1- sin vx=2smyx+1Ncy+1+√x X+1+ x+1 √x+1-√ ≤l, lim sin = sin lim 例5设函数∫(x)在区间[0,2da>0)上连续,且f(O)=f(2a),证明:在区间 d]上至少存在某个c使∫(c)=f(+a) 证明:若f(a)=f(2a),取c=0或c=a即可;若f(a)≠f(2a)不妨设∫(a)>f(2a) 设F(x)=f(x)-f(x+a),应用零点定理即得所证 例6若∫在点x连续,则八、f2也在点x连续,反之如何? 证明:团/在点x连续易证。现证f2在点x连续
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 例 3 证明函数 ( ) x f x 1 = 在区间(0,1)内非一致连续. 证法一：( 用一致连续的否定定义验证 ) 取 1, ( 1) ε 0 = ∀δ < ，取 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 min , ' x δ ，与 2 ' " x x = ，便有 δ δ − = ≤ < 2 2 ' ' " x x x 但 2 1 .LL 1 1 1 2 1 ' " ' " ' 0 − = − = ≥ > = ε x x x x x 证法二： ( 用教材例 10 的结果 ). 例 4 lim (sin x +1 − sin x ) x→+∞ 解： . 2 1 cos 2 1 sin 1 sin 2sin x x x x x x + − + + + − = 0 2 1 sin lim 2 1 1, lim sin 2 1 cos = + − = + − ≤ + + →+∞ →+∞ x x x x x x x x Q ， ∴I = 0. 例 5 设函数 f (x) 在区间[ ] 0,2a (a > 0)上连续, 且 f (0) = f (2a)，证明: 在区间 [0,a]上至少存在某个c 使 f ( ) c = f (c + a). 证明：若 f ( ) a = f (2a) , 取c = 0 或c = a 即可;若 f (a) ≠ f (2a)不妨设 设 f ( ) a > f (2a) F( ) x = f ( ) x − f (x + a) , 应用零点定理即得所证. 例 6 若 f 在点 x0 连续，则 f 、 也在点 连续，反之如何？ 2 f 0 x 证明： f 在点 x0 连续易证。现证 在点 连续， 2 f 0 x - 4 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 f(x)-f(x)同∫(x)+f(x0)·|f(x)-f(x0) ∫在点x连续→彐6>0,M>0,当x∈U(x0;)时(x)<M E>0,彐62>0,当x-x<2时,|(x)-f(x)< 取6=mm{6,2},则当xx<6时,p()-f2(x)<M x为有理数 反之不成立,如f(x)= xx为无理数 五、复习题 1.用定义证明下列函数在定义域内连续 (1)y=√x; (2)y (3)y=|x (4)y=sin 2.指出下列函数的间断点并说明其类型: (1)f()=x+1: (2)f(x)=[x]+[-x] (3)f(x)= x (4)f(x)=sgn|x|; (5)f(x) In x x为有理数 (6)f(x) 0,x为无理数 3.当x=0时下列函数无定义,试定义f(0)的值,使f(x)在x=0连续: (1)f(x) √1+x-1
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | 0 0 0 2 2 f x − f x = f x + f x ⋅ f x − f x f 在点 x0 连续 0 ⇒ ∃δ 1 > ， M > 0，当 ( ) 0 1 x ∈U x ;δ 时 f (x) < M ； ∀ε > 0， 0 ∃δ 2 > ，当 − 0 < δ 2 x x 时， ( ) ( ) M f x f x ε − 0 < 取 { 1 2 δ = min δ ,δ }，则当 x − x0 < δ 时， ( ) ( ) ε ε − < ⋅ = M f x f x0 M 2 2 反之不成立，如 . ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = x x f (x) 为无理数 为有理数 x x 五、复习题 1. 用定义证明下列函数在定义域内连续： (1) y = x ； (2) 1 y x = ； (3) y =| x |； (4) 1 y sin x = . 2．指出下列函数的间断点并说明其类型： (1) 1 f x( ) x x = + ； (2) f x( ) =[ ] x + [−x] ； (3) sin ( ) | | x f x x = ； (4) f x( ) = sgn | x |； (5) ( ) ln f x x 1 = ； (6) sin , , ( ) 0 , x x f x x ⎧ π = ⎨ ⎩ 为有理数 为无理数； 3．当 x = 0 时下列函数无定义，试定义 f (0) 的值，使 f x( ) 在 x = 0 连续： (1) 3 1 ( ) 1 1 x f x x 1 + − = + − ； - 5 -