临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 第六章微分中值定理及其应用 基本概念 1.若函数∫在区间/上有定义,x∈Ⅰ。若存在x的邻域U(x0),使得对于任意的 x∈U(x0),有∫(x)≥∫(x),则称∫在点x取得极大值,称点x为极大值点。若存在x0 的邻域U(x),使得对于任意的x∈U(x0),有∫(x)≤f(x),则称∫在点x取得极小值, 称点x为极小值点。 极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点。 2.设函数∫为定义在区间/上的函数,若对/上任意两点x1、x2和任意实数∈(0,1) 总有∫(Ax1+(1-A)x2)≤A(x)+(1-A)f(x2),则称∫为/上的凸函数。反之,如果总 有f(x1+(1-1)x2)≥4f(x)+(1-A)f(x2),则称∫为上的凹函数 3.设曲线y=f(x)在点(x0,f(x)处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线 的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称(x0,f(x)为曲线y=/(x)的拐点 基本定理 1.若函数f满足以下条件:(1)f在[ab]上连续:(2)f在(ab)内可导。则在(ab) 内至少存在一点,使得∫(2)= f(b-f(a) 2.若∫满足如下条件:(1)f∈[叵b:(2)f在(ab)内可导:(3)f(a)=f(b), 则存在∈(a,b),使得f(2)=0 3.若函数∫,g{x=g{u)y=f(ul)u∈[b,满足如下条件:(1)f,g∈[ab]:(2) f,g在(ab)内可导:(3)f,g至少有一个不为0:(4)g(a)≠g(b)。在存在5∈(ab), 使得 f(2)f(b)-f(a) (5)g(b)-g(a) 4.若函数在点x的邻域内有定义,且在点x可导。若x0为∫的极值点,则比有
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 第六章 微分中值定理及其应用 一、基本概念 1. 若函数 f 在区间 I 上有定义， 0 x ∈ I 。若存在 0 x 的邻域U x( 0 ) ，使得对于任意的 0 x∈U x( )，有 0 f ( ) x ≥ f (x) ，则称 f 在点 0 x 取得极大值，称点 0 x 为极大值点。若存在 0 x 的邻域U x( 0 ) ，使得对于任意的 0 x∈U x( )，有 0 f ( ) x ≤ f (x) ，则称 f 在点 0 x 取得极小值， 称点 0 x 为极小值点。 极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。 2. 设函数 f 为定义在区间 I 上的函数，若对 I 上任意两点 1 x 、 2 x 和任意实数λ ∈(0,1) 总有 1 2 1 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( 2 f λx + − λ λ x ≤ f x + − λ f x ) ，则称 f 为 I 上的凸函数。反之，如果总 有 1 2 1 ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( 2 f λx + − λ λ x ≥ f x + − λ f x ) ，则称 f 为 I 上的凹函数。 3. 设曲线 y = f (x)在点( 0 , ( )0 x f x )处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线 的两侧分别是严格凸或严格凹的，这时称( 0 0 x , ( f x ) )为曲线 y = f (x)的拐点。 二、基本定理 1. 若函数 f 满足以下条件：（1） f 在[a,b]上连续；（2） f 在(a,b)内可导。则在( ) 内至少存在一点 a,b ξ ，使得 ( ) ( ) ( ) f b f a f b a ξ − ′ = − 。 2. 若 f 满足如下条件：（1） f ∈[a,b] ；（2） f 在(a,b)内可导；（3） ， 则存在 f ( ) a = f (b) ξ ∈ (a,b)，使得 f ′( ) ξ = 0 。 3. 若函数 f ，g( ) x = g( ) u , y = f (u),u ∈[a,b] ，满足如下条件：（1） ；（2） ，g 在( 内可导；（3） 至少有一个不为 0；（4） f g, [ ∈ a,b] f a,b) f ′, g′ g(a) ≠ g(b)。在存在ξ ∈ ( ) a,b ， 使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f b f a g g b g a ξ ξ ′ − = ′ − 。 4. 若函数在点 0 x 的邻域内有定义，且在点 0 x 可导。若 0 x 为 f 的极值点，则比有 - 1 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 ∫(x0)=0。(即可导极值点的导数为零。其几何意义:可导极值点出的切线平行于x轴 称满足方程∫(x)=0的点为稳定点。 5.若函数∫在[ab]上可导,且f(a)≠f(b),k为介于f(a)和/(b)之间的任一实 数,则至少存在一点5∈(a,b),使得f(5)=k 6.设f(x)在区间上可导,则f(x)在l上递增(减)f(x)≥0(≤0) 7.若函数∫在(a,b)内可导,则∫在(anb)内严格递增(减)的充要条件是:(i)对 一切x∈(a,b),有f(x)≥0(≤0):(ⅱ)在(ab)内的任何子区间上f(x)≠0。 8.若函数∫在[b]上存在直到n阶的连续导函数,在(a,b)内存在n+1阶导函数,则 对任意给定的x,x0∈[a,b,至少存在一点5∈(a,b)使得: f(x)=/()」 (x-x0) l! (ntDr(r 9.设∫在点x连续,在某邻域U(x,δ)内可导, (1)若当x∈(x0-6,x0)时,f(x)≤0;当x∈(x,x0+)时,f(x0)≥0,则∫在 点x取得最小值 )若当x∈(x-δ,x0)时,f(x)20;当x∈(x,x+6)时,f(x0)≤0,则∫在 点x取得最大值 (3)若∫(x)在(x-6,x)和(x0,x+6)内不等号,则点x不是极值点。 10.设∫在点x0的某邻域U(x0,O)内一阶可导,在x=x处二阶可导,且f(x)=0, f"(x)≠0,则有:(1)若f"(x)<0,则f在x出取得极大值:(2)若∫"(x0)>0,则f 在x出取得极小值 11.设∫在x的某邻域内存在直到n-1阶导函数,在x处n阶可导,且f(x)=0, (k=1,2,…,n-1),f"(x0)≠0,则(1)当n为偶数时,∫在x取得极值,且当f"(x)<0 时,取极大值;当∫"(x0)>0时,取极小值;(2)当n为奇数时,∫在x不取得极值
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 0 f x ′( ) = 0 。（即可导极值点的导数为零。其几何意义：可导极值点出的切线平行于 轴）， 称满足方程 x 0 f x ′( ) = 0 的点为稳定点。 5. 若函数 f 在[a,b]上可导，且 f ( ) a f (b) + − ′ ≠ ′ ，k 为介于 f (a) + ′ 和 f (b) − ′ 之间的任一实 数，则至少存在一点ξ ∈( , a b)，使得 f k ′( ) ξ = 。 6. 设 f (x))在区间 I 上可导，则 f (x) 在 I 上递增（减）⇔ f x ′( ) ≥ ≤ 0( 0) 7. 若函数 f 在(a,b)内可导，则 f 在(a,b)内严格递增（减）的充要条件是：（ⅰ）对 一切 x∈( , a b) ，有 f x ′( ) ≥ ≤ 0( 0)；（ⅱ）在(a,b)内的任何子区间上 f x ′( ) ≠ 0。 8. 若函数 f 在[a,b]上存在直到 n 阶的连续导函数，在(a,b)内存在 n＋1 阶导函数，则 对任意给定的 0 x, [ x ∈ a,b] ，至少存在一点ξ ∈( , a b)使得： ( ) ( 1) 0 0 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1! ! ( 1)! n n n n f x f x f f x f x x x x x x x n n ξ + + ′ = + − + + − + − + L 0 9. 设 f 在点 0 x 连续，在某邻域 U( 0 x ,δ )内可导， （1）若当 0 ( , 0 x∈ − x δ x ) 时， 0 f x ′( ) ≤ 0；当 0 0 x x ∈( , x +δ ) 时， ，则 在 点 0 f x ′( ) ≥ 0 f 0 x 取得最小值； （2）若当 0 ( , 0 x∈ − x δ x ) 时， 0 f x ′( ) ≥ 0；当 0 0 x x ∈( , x +δ ) 时， ，则 在 点 0 f x ′( ) ≤ 0 f 0 x 取得最大值； （3）若 f ′(x) 在 0 0 (x −δ , x ) 0 0 ( , x x )内不等号，则点 0 和 +δ x 不是极值点。 10. 设 f 在点 0 x 的某邻域 U( 0 x ,δ )内一阶可导，在 x＝ 0 x 处二阶可导，且 ， ，则有：（1）若 0 f x ′( ) = 0 0 f x ′′( ) ≠ 0 0 f x ′′( ) < 0 ，则 f 在 0 x 出取得极大值；（2）若 ，则 在 0 f x ′′( ) > 0 f 0 x 出取得极小值。 11. 设 f 在 0 x 的某邻域内存在直到 n－1 阶导函数，在 0 x 处 n 阶可导，且 ， （k＝1，2，…，n－1）， ，则（1）当n为偶数时，f 在 ( ) 0 ( ) 0 k f x = ( ) 0 ( ) 0 n f x ≠ 0 x 取得极值，且当 时，取极大值；当 时，取极小值；（2）当 n 为奇数时， 在 ( ) 0 ( ) 0 n f x < ( ) 0 ( ) 0 n f x > f 0 x 不取得极值。 - 2 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 2.设∫为区间上的可导函数,则下述论断互相等价:(1)∫为/上的凸函数;(2) f为/上的增函数:(3)对I上的任意两点x1,x2总有f(x2)≥f(x)+f(x1)(x2-x) 13.设∫为/上的二阶可导函数,则在I上∫为凸(凹)函数台f∫"(x)>0 (f"(x)<0),x∈l 14.若∫在x二阶可导,则(x0,f(x)为曲线y=f(x)的拐点的必要条件是∫(x0)=0。 15.设∫在点x可导,在某邻域U(x0)内二阶可导,若在U4(x)和U(x0)上f"(x)的 符号相反,则(x0,f(x))为曲线y=fx)的拐点。 三、基本要求 1.深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者 之间的包含关系 2.熟练掌握 L'Hospital法则,并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的极限 3.深刻理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件;熟练掌握运用导数判断 函数单调性与单调区间的方法;能利用函数的单调性证明某些不等式 4.深刻理解 Taylor定理,掌握 Taylor公式,熟悉两种不同余项的 Taylor公式及其之间 的差异 5.掌握并熟记一些常用初等函数和 Taylor展开公式,并能加以应用。 6.会用带 Taylor型余项的ayo公式进行近似计算并估计误差;会用代 Peano余项的 Taylor公式求某些函数的极限 7.会求函数的极值与最值:弄清函数极值的概念,取得极值必要条件以及第一、第二 充分条件;掌握求函数极值的一般方法和步骤:能灵活运用第一、第二充分条件判定函数的 极值与最值:会利用函数的极值确定函数的最值,对于取得极值的第三充分条件,也应用基 本的了解 8.弄清函数凸性的概念,掌握函数凸性的几个等价论断,会求曲线的拐点,能应用函 数的凸性证明某些有关的命题。 四、典型例题
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 12. 设 f 为区间 I 上的可导函数，则下述论断互相等价：（1） f 为 I 上的凸函数；（2） f ′ 为 I 上的增函数；（3）对 I 上的任意两点 1 2 x , x 总有 2 1 1 2 ( ) ( ) ( )( )1 f x f ≥ + x f ′ x x − x 13. 设 f 为 I 上的二阶可导函数，则在 I 上 为凸（凹）函数 （ ）， 。 f ⇔ f x ′′( ) > 0 f x ′′( ) < 0 x∈ I 14. 若 f 在 0 x 二阶可导，则( 0 0 x , ( f x ) )为曲线 y＝f(x)的拐点的必要条件是 f x ′′( )0 = 0 。 15. 设 f 在点 0 x 可导，在某邻域 内二阶可导，若在 和 上 的 符号相反，则( 0 U x( ) 0 U x( ) + 0 U x( ) − f ′′(x) 0 0 x , ( f x ) )为曲线 y＝f(x)的拐点。 三、基本要求 1. 深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者 之间的包含关系。 2. 熟练掌握 L’Hospital 法则，并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的极限； 3. 深刻理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判断 函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式。 4. 深刻理解 Taylor 定理，掌握 Taylor 公式，熟悉两种不同余项的 Taylor 公式及其之间 的差异； 5. 掌握并熟记一些常用初等函数和 Taylor 展开公式，并能加以应用。 6. 会用带 Taylor 型余项的 Taylor 公式进行近似计算并估计误差；会用代 Peanlo 余项的 Taylor 公式求某些函数的极限。 7. 会求函数的极值与最值；弄清函数极值的概念，取得极值必要条件以及第一、第二 充分条件；掌握求函数极值的一般方法和步骤；能灵活运用第一、第二充分条件判定函数的 极值与最值；会利用函数的极值确定函数的最值，对于取得极值的第三充分条件，也应用基 本的了解。 8. 弄清函数凸性的概念，掌握函数凸性的几个等价论断，会求曲线的拐点，能应用函 数的凸性证明某些有关的命题。 四、典型例题 - 3 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 例1.证明不等式 b b-a b<ln∠as(0<a<b)。 分析把不等式可以改写成(b-a)<lnb-lna<-(b-a)可见中项是函数lnx 在区间[a,b]两端值之差,而(b-a)是该区间的长度,于是可对lnx在[a,b]上使用拉格朗 日中值定理。 证明:设∫(x)=lnx,则f(x)=-.在[an,b]上运用拉格朗日中值公式,有 In-=Inb- Ina=-(b-a) 又因<<-,于是,有如<lnb-lna< 例2试证x>sinx>=x,0<x< 分析改写不等式为1>smx2,当x→>0时,Snx 之值 为2.于是要证的不等式相当于要证函数()=sx之值介于工与1之间 0 证明:考虑函数f(x)= x=0 当0<x<时,有f(x)=302x=03x(x-gx)<0 所以,八()0)内单调减少,又几()在0.上连线,所以有/(0)>()> I1>sinr 2 2 即 >二或x>sinx>-x 本例也可将联立不等式分为x>sinx与sinx>-x两步证明 例3证明不等式 x-ax≤1-a(x>0,0<a<1) 证明:设f(x) ax-(-a)则∫(x)=a a(x"-1)令f(x)=0,得唯
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 例 1. 证明不等式 ln ,(0 ) b a b b a a b b a a − − < < < < 。 分析 把不等式可以改写成 1 ( ) b a b − < lnb − ln a < 1 a (b − a) 可见中项是函数ln 在区间[ , 两端值之差，而 是该区间的长度，于是可对 在[ , 上使用拉格朗 日中值定理。 x a b] (b − a) ln x a b] 证 明 ： 设 f x( ) = ln x ， 则 f '(x) = 1 x . 在 [ , a b] 上运用拉 格朗日中 值公式 , 有 ln b a = lnb − ln a = 1 ξ ( ) b − a ，( ) a b < ξ < 又因 1 1 1 b a ξ < < ，于是，有 ( ) b a b − < lnb − ln a < b a a − 即 ( ) b a b − < ln b a < b a a − 例 2 试证 x x x π 2 > sin > ， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < < 2 0 π x 。 分析 改写不等式为 π sin 2 1 > > x x ，当 x → 0时， 1 sin → x x ，当 2 π x = ， x sin x 之值 为 π 2 ．于是要证的不等式相当于要证函数 ( ) x x f x sin = 之值介于 2 π 与１之间． 证明：考虑函数 ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = 1 sin x x f x 0 2 0 = < < x x π ， 当 2 0 π < x < 时，有 ( ) ( ) 0 cos sin cos 2 2 ' = − < − = x tgx x x x x x x f x ． 所以，f (x) 在 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 0, π 内单调减少，又 f (x) 在 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 0, π 上连续，所以有 ( ) ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ > > 2 0 π f f x f 即 π sin 2 1 > > x x 或 x x x π 2 > sin > ． 本例也可将联立不等式分为 x > sin x 与 x x π 2 sin > 两步证明． 例 3 证明不等式 a x − ax ≤ 1− a ( 0 x a > < ,0 < 1) 证明：设 f ( ) x x ax ( a)则 a = − − 1− ( ) ( 1) ' 1 1 = − = − a− a− f x ax a a x 令 ( ) 0 ，得唯 ' f x = - 4 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 一驻点x=1,又当时0<x<1,f(x)>0:当x>1时,f(x)<0,从而f()是∫(x)在 上(0,+∞)的最大值,即有f(x)≤f(1)=0 所以 x-ax-(1-a)≤0或x-ax≤1-a(x>0.0<a<1) 例4设x>0,y>0,证明不等式xnx+ylny≥(x+y)ln 且等号仅在x 时成立。 分析将不等式两边同时除以2,变形为为xmx+yny、(x+y)1nxy便可看出, 左边是函数()=lh在两点x,y处的值的平均值,而右边是它在中点里处的函数 值这时只需∫()≥0即可得证。 证明:设f()=tlnt,即f()=1+lnt,f()=>0,故由 1()+()2=fx+ x 可得 Inx+ynys 2 即xnx+yhy2(x+yh+y 等号仅在x=y时成立。 例5求函数y=x2e的极值。 思路:对于存在二阶导数的函数,利用第二判别法判断极值点更为方 解:y=2xe-+x2e(-2x)=-2x(x+1)x-1)e 令y=0,解得稳定点x=-1,x=0,x=1 2x)e 且有y?=2>0,)hm==-4 由极值的第二判别法知:x=0是函数的极小值点,y==0,x=-1,x=1是极大值点 极大值 as ITar 例6求函数二=xy在条件x+y=2下的极值
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 一驻点 x = 1，又当时0 < x < 1， ( ) 0 ' f x > ；当 x > 1时， ( ) 0 ' f x < ，从而 是 在 上 的最大值，即有 f (1) f (x) (0,+∞) f ( ) x ≤ f (1) = 0 所以 a x − ax − （1− a ）≤ 0或 a x − ax ≤ 1− a ( 0 x a > < ,0 < 1) 例 4 设 x > 0, y > 0，证明不等式 ( ) 2 ln ln ln x y x x y y x y + + ≥ + 且等号仅在 x = y 时成立。 分析 将不等式两边同时除以 2，变形为为 ( ) 2 ln 2 2 x ln x y ln y x + y x + y ≥ + 便可看出， 左边是函数 f ( )t = t lnt 在两点 x ， y 处的值的平均值，而右边是它在中点 2 x + y 处的函数 值 这时只需 ( ) 0即可得证。 " f t ≥ 证明： 设 f ( )t = t lnt ,即 f (t) 1 ln t ' = + ， ( ) 0 " 1 = > t f t ,故由 [ ] ( ) ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 2 2 1 x y f x f y f 可得 ( ) 2 ln 2 2 x ln x y ln y x + y x + y ≥ + ， 即 ( ) 2 ln ln ln x y x x y y x y + + ≥ + 等号仅在 x = y 时成立。 例 5 求函数 的极值。 2 2 x y x e− = 思路：对于存在二阶导数的函数，利用第二判别法判断极值点更为方便。 解： 2 2 2 2 e e ( 2 ) 2 ( 1)( 1)e x 2 x x y x x x x x x − − − ′ = + − = − + − 令 y′ = 0 ，解得稳定点 x = −1, x = 0, x = 1 2 2(1 5 2 )e 2 4 x y x x − ′′ = − + 且有 1 0 1 2 0, 4e− = =± ′′ = > ′′ = − x x y y 由极值的第二判别法知： x = 0是函数的极小值点， 0 0 = x= y ， x = −1, x = 1是极大值点， 极大值 1 1 − =± y = e x 例 6 求函数 z = xy 在条件 x + y = 2 下的极值。 - 5 -