例2.射击问题(打靶游戏) 设r表示射击运动员的弹着点到靶心的距离,g( 表示击中处相应的得分数(环数),f(r)为该运动员的 弹着点的分布密度函数,它反映运动员的射击水平。 该运动员的射击成绩为 g>=()() 用概率语言来说,<g>是随机变量()的数学期 望,即 g>=elg(r)
例2. 射击问题（打靶游戏） 设r表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，ｇ(r) 表示击中r处相应的得分数（环数），f(r)为该运动员的 弹着点的分布密度函数，它反映运动员的射击水平。 该运动员的射击成绩为 用概率语言来说，<g>是随机变量ｇ(r)的数学期 望，即 g = Eg(r) = 0 g g(r) f (r)dr
现假设该运动员进行了N次射击,每次射击的弹 着点依次为r1,2,…N,则N次得分g(r), g(r2),…,g(x)的算术平均值 M28(x) 代表了该运动员的成绩。换言之,为积分<g>的估 计值,或近似值。 在该例中,用N次试验所得成绩的算术平均值作 为数学期望<g>的估计值(积分近似值)
现假设该运动员进行了Ｎ次射击，每次射击的弹 着点依次为 r1 ， r2 ， … ， rN ， 则 Ｎ 次得分 g(r1 ) ， g(r2 )，…，g(rN )的算术平均值 代表了该运动员的成绩。换言之，为积分<g>的估 计值，或近似值。 在该例中，用Ｎ次试验所得成绩的算术平均值作 为数学期望<g>的估计值（积分近似值）。 = = N i N i g r N g 1 ( ) 1
>基本思想 由以上两个例子可以看出,当所求问题的解是某 个事件的概率,或者是某个随机变量的数学期望,或 者是与概率、数学期望有关的量时,通过某种试验的 方法,得出该事件发生的频率,或者该随机变量若干 个具体观察值的算术平均值,通过它得到问题的解。 这就是蒙特卡罗方法的基本思想 当随机变量的取值仅为1或0时,它的数学期望就 是某个事件的概率。或者说,某种事件的概率也是随 机变量(仅取值为1或0)的数学期望
➢ 基本思想 由以上两个例子可以看出，当所求问题的解是某 个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或 者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的 方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干 个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 这就是蒙特卡罗方法的基本思想。 当随机变量的取值仅为1或0时，它的数学期望就 是某个事件的概率。或者说，某种事件的概率也是随 机变量（仅取值为1或0）的数学期望
因此,可以通俗地说,蒙特卡罗方法是用随机试 验的方法计算积分,即将所要计算的积分看作服从某 种分布密度函数八()的随机变量g(r)的数学期望 <g>=l g(r)f(rdr 通过某种试验,得到N个观察值r,r2,…,rx(用概 率语言来说,从分布密度函数fn)中插取N个子样r r2,…,rx,),将相应的N个随机变量的值g(r1), g(r2),…,g(r)的算术平均值 g ∑ g(r) N 作为积分的估计值(近似值)
因此，可以通俗地说，蒙特卡罗方法是用随机试 验的方法计算积分，即将所要计算的积分看作服从某 种分布密度函数f(r)的随机变量ｇ(r)的数学期望 通过某种试验，得到Ｎ个观察值r1，r2，…，rN（用概 率语言来说，从分布密度函数f(r)中抽取Ｎ个子样r1， r2，…，rN，），将相应的Ｎ个随机变量的值g(r1 )， g(r2 )，…，g(rN )的算术平均值 作为积分的估计值（近似值）。 = = N i N i g r N g 1 ( ) 1 = 0 g g(r) f (r)dr
为了得到具有一定精确度的近似解,所需试验的 次数是很多的,通过人工方法作大量的试验相当困难 甚至是不可能的。因此,蒙特卡罗方法的基本思想虽 然早已被人们提出,却很少被使用。本世纪四十年代 以来,由于电子计算机的出现,使得人们可以通过电 子计算机来模拟随机试验过程,把巨大数目的随机试 验交由计算机完成,使得蒙特卡罗方法得以广泛地应 用,在现代化的科学技术中发挥应有的作用
为了得到具有一定精确度的近似解，所需试验的 次数是很多的，通过人工方法作大量的试验相当困难， 甚至是不可能的。因此，蒙特卡罗方法的基本思想虽 然早已被人们提出，却很少被使用。本世纪四十年代 以来，由于电子计算机的出现，使得人们可以通过电 子计算机来模拟随机试验过程，把巨大数目的随机试 验交由计算机完成，使得蒙特卡罗方法得以广泛地应 用，在现代化的科学技术中发挥应有的作用