0<m列s州<e+y→m sin xy=0. (x,y(0,0)x 概念上的差异会导致性质上的某些差异.由于定义1要求较高，而定义2要 求较低，所以在定义1下成立的性质，在定义2下未必成立。例如，按定义1， 若mf(x,y)=A,mg(x,)=B,则必有 (x,y→x0,%) (x,y)x0,%) lim [f(x,y)+g(x,y)]=A+B. (x,y)(x0,o) 但在定义2下此法则不一定成立。 例4因孩定义2由y=0y>0.品0y=0<0, x,-0.0)√xy ()(0.)xy 但因sinx) 在全平面上处处无定义，所以 lim sin xy 十 无意义 (x,y-→0,0 为了使上述加法运算法则仍成立，必须增加“(x,%)仍是函数 f(x,y)+g(x,y)定义域的聚点”这个条件」 [注]对多数院校的学生，用定义1来定义重极限就够了。为了使该定义能 用于定义域D()是闭域时讨论函数在边界点上的极限和连续性，可将定义1扩 充如下： 若Ve>0,36=6(e)>0,使得当P(x,y)eU(D,)nD)时，恒有 f(x,y)-a<s, 则称a为当P(x,y)→P(x,)时f(x,y)的极限。 (2)重极限与一元函数极限的本质差异 在一元函数极限mf(x)中，自变量x只能沿x轴从x的左、右两侧趋于x, -xo 所以mf(x)=a台im.f(x)=m.f)=a 在二重极限，代化)中，由于自变量的增多，点(x,列在平面区域（或 点集)D(f)中趋于(x,y)的路径有无穷多种。因此，当(x,y)在D(f)中以任何 路径趋于(，)时，c,)都趋于同一个常数a,才能说sfx,)=a. 2
11 0. sin lim sin 0 ( , ) (0,0) 2 2 + = → x x y y x y x x y x y 概念上的差异会导致性质上的某些差异. 由于定义 1 要求较高，而定义 2 要 求较低，所以在定义 1 下成立的性质，在定义 2 下未必成立。例如，按定义 1， 若 f x y A g x y B x y x y x y x y = = → → lim ( , ) , lim ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 ，则必有 lim [ ( , ) ( , )] . ( , ) ( , ) 0 0 f x y g x y A B x y x y + = + → 但在定义 2 下此法则不一定成立。 例 4 因按定义 2 0( 0) sin 0( 0), lim sin lim ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) = − = → → x y x y x y x y x y x y x y x y ， 但因 − + xy xy xy 1 1 sin 在全平面上处处无定义，所以 − + → xy xy xy x y 1 1 lim sin ( , ) (0,0) 无意义. 为 了 使 上 述 加 法 运 算 法 则 仍 成 立 ， 必 须 增 加 “ ( , ) 0 0 x y 仍是函数 f (x, y) + g(x, y) 定义域的聚点”这个条件. [注] 对多数院校的学生，用定义 1 来定义重极限就够了。为了使该定义能 用于定义域 D( f ) 是闭域时讨论函数在边界点上的极限和连续性，可将定义 1 扩 充如下： 若 0, = ( ) 0 ，使得当 ( , ) ( , ) ( ) 0 P x y U P D f 时，恒有 f (x, y) − a ， 则称 a 为当 ( , ) ( , ) 0 0 0 P x y → P x y 时 f (x, y) 的极限。 （2）重极限与一元函数极限的本质差异 在一元函数极限 lim ( ) 0 f x x→x 中，自变量 x 只能沿 x 轴从 0 x 的左、右两侧趋于 0 x ， 所以 lim ( ) lim ( ) lim ( ) . 0 0 0 f x a f x f x a x x x x x x = = = → → − → + 在二重极限 lim ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 f x y x y → x y 中，由于自变量的增多，点 (x, y) 在平面区域（或 点集） D( f ) 中趋于 ( , ) 0 0 x y 的路径有无穷多种。因此，当 (x, y) 在 D( f ) 中以任何 路径趋于 ( , ) 0 0 x y 时， f (x, y) 都趋于同一个常数 a ，才能说 f x y a x y x y = → lim ( , ) ( , ) ( , ) 0 0
由此可见，二重极限定义比一元函数极限定义要求强得多。二重极限定义的上述 要求虽为判定极限的存在性与求极限值带来了困难，但却为判断二重极限的不存 在提供了简便的方法： 1)若(x,y)沿某一路径趋于(x,)时，f(x,y)不趋于一个确定的常数； 2)当(x,y)沿两种不同的路径趋于(x,%)时，f(x,y)趋于不同的常数。 例5考察二元函数 0,≥x2,或y=0: f(x,y)= 1,其他 当(x,y)→(0,0)时的极限。 解易见，此函数定义在全平面上，当(x,y)沿任何直线I:y=kx(k∈R)趋于 0,0时，m。x,)=0.当x,沿L:y=x趋于0,0时，m。fx,)=1 (x.y)0.0)1 (x,y)→(0,0)1 所以f(x,y)在(0,0)处的二重极限不存在。 (3)二重极限与二次极限 ·二者的本质差异 二重极限，。x,月是用以刻画当(x,)在B(化，)的充分小的邻域内 动点P(x,y)以任意路径任意方式趋于P时函数f(x,y)的变化趋势的：二次极限 本质上属于一元函数极限的范畴，是连接求两次一元函数的极限。例如，考察 mmf(x,y),它表示对任给的y,先求mfx,y),若Y={y川mfx,)存在， y→y0x→xg x-T 则得一定义在Y上的函数Fy)=mf(x,y)(称之为f(x,)关于x在x处的极限 函数)。若该函数在y。处的极限也存在，则称 lim F(y)=lim lim f(x,y) Vo x-x 为f(x,y)在(xo,y)处先对x后对y的二次极限。在几何上，如图所示. 12
12 由此可见，二重极限定义比一元函数极限定义要求强得多。二重极限定义的上述 要求虽为判定极限的存在性与求极限值带来了困难，但却为判断二重极限的不存 在提供了简便的方法： 1 。）若 (x, y) 沿某一路径趋于 ( , ) 0 0 x y 时， f (x, y) 不趋于一个确定的常数； 2 。）当 (x, y) 沿两种不同的路径趋于 ( , ) 0 0 x y 时， f (x, y) 趋于不同的常数。 例 5 考察二元函数 = = 其他 或 1, 0, , 0; ( , ) 2 y x y f x y 当 (x, y) → (0,0) 时的极限。 解 易见，此函数定义在全平面上，当 (x, y) 沿任何直线 l : y = kx(k R) 趋于 (0,0) 时， lim ( , ) 0 ( , ) (0,0) = → f x y x y . (0,0) lim ( , ) 1 2 1 ( , ) : ( , ) (0,0) 2 = = → x y L y x f x y x y 当 沿 趋于 时， 所以 f (x, y) 在 (0,0) 处的二重极限不存在。 （3）二重极限与二次极限 ⚫ 二者的本质差异 二重极限 lim ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 f x y x y → x y 是用以刻画当 (x, y) 在 ( , ) 0 0 0 P x y 的充分小的邻域内 动点 P(x, y) 以任意路径任意方式趋于 P0 时函数 f (x, y) 的变化趋势的；二次极限 本质上属于一元函数极限的范畴，是连接求两次一元函数的极限。例如，考察 lim lim ( , ) 0 0 f x y y→y x→x ，它表示对任给的 y ，先求 lim ( , ) 0 f x y x→x ，若 { | lim ( , ) } 0 Y y f x y 存在 x→x = ， 则得一定义在 Y 上的函数 ( ) lim ( , ) 0 F y f x y x→x = （称之为 f (x, y) 关于 x 在 0 x 处的极限 函数）。若该函数在 0 y 处的极限也存在，则称 lim ( ) lim lim ( , ) 0 0 0 F y f x y y→y y→y x→x = 为 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处先对 x 后对 y 的二次极限。在几何上，如图所示